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§ 1.3 多维随机变量 1.3.1 多维随机变量的分布 1.3.2 条件分布与随机变量的独立性 1.3.1多维随机变量的分布 在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些随机变量之间的联 系, 就需考虑若干个随机变量,即多维随机 变量及其取值规律——多维分布. 对于多维随机变量，我们当然可以分别 研究它们，一个一个的处理，然而这些 随机变数之间可能有联系，把它们作为 一个整体来考虑，还可以考虑它们之间 的联系。 一、随机向量及其分布函数 定义 设?为随机试验的基本空间， X1(ω), X 2 (ω),L, X n (ω) 是定义在基本空间? 上的随机变量，则称 X1(ω), X 2 (ω),L, X n (ω) （为n维随机变量或随机）向量; 称 F (x1, x2 ,L, xn ) = P{X1 x1, X 2 x2 L, X n xn} D n = P{I(X i xi )} i=1 为n维随机变量{X 1 ( ω ), X 2 (ω ), L , X n ( ω )}的联合分布 函数。 为了叙述简便起见，我们着重讨论n=2 的情形，即二维随机变量。 联合分布函数的性质 二维随机变量的分布函数F(x,y)满足 ① 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1 y2 , F (x, y1) ￡ F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x1,y) ￡ F (x2, y) ② 对每个变量左连续 F (x0 , y0) = F (x0-0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 -0 ) ③ 对于任意 a b , c d F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 3 0 ④ lim F (x, y) = lim F (x, y) = 0 x?-￥ y?-￥ lim F (x, y) = 1 x?￥ y?￥ 二维随机变量的边缘分布函数 定义：若二维随机向量（X,Y）的分布函 数为F(x,y);X,Y的分布函数分别为 FX (x) ， FY (y), 则称 FX (x) ，FY (y), 为 (X,Y) 关于X,Y 的 边缘分布函数。 由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真. FX (x) = P(X x) = lim F(x, y) y?￥ FY (y) = P(Y y) = lim F(x, y) x?￥ 二、二维离散型随机变量的概率分布 定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能 的取值为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型随机变量. 定义 设( X ,Y )的所有可能的取值为 (xi , y j ), i, j =1,2,L 则称 P(X = xi ,Y = y j ) = pij , i, j =1,2,L 为二维随机向量( X ,Y ) 的联合概率函数 或联合分布律, 也简称概率函数或分布律 显然，pij 3 0, i, j =1,2,L +￥ +￥ ?? pij = 1 i=1 j=1 为了直观，常常将( X ,Y ) 的联合分布律用表格 的形式表示出来 X Y y1 L yj L L p11 L p x 1 j 1 M L L M M pi1 L p L xi ij M M L M L 定义：设（X,Y）为离散型随机向量， 则称X或Y的概率函数为（X,Y）关于 X,Y的边缘分布律。 由联合分布可确定边缘分布,其逆不真. P( X = xi ) = ? pij ,i = 1,2,L j P(Y = y j ) = ? pij , j =1,2,L