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§1.3.3 二维随机变量函数的分布 已知 随机变量( X ,Y )的分布及 二元函数g(x, y) 求 Z = g( X ,Y )的分布 一、离散型二维随机向量的函数的分布 例? 设二维随机向量( X,Y )的概率分布为 pij X -1 1 2 Y -1 1 4 1 6 1 8 0 1 4 1 8 112 求X + Y, X - Y, XY,Y X 的概率分布 解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格： P 1 4 1 4 1 6 1 8 1 8 1 12 ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0)(1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 -1 0 1 1 2 X -Y 0 -1 2 1 3 2 X Y 1 0 -1 0 -2 0 Y / X 1 0 -1 0 -1/2 0 故得 X+Y -2 -1 0 1 2 P 1 4 1 4 1 6 1 4 1 12 X - Y -1 0 1 2 3 P 1 4 1 4 1 8 1 4 1 8 X Y -2 -1 0 1 P 1 8 1 6 1124 1 4 Y /X -1 -1/2 0 1 P 1 6 1 8 1124 1 4 具有可加性的两个离散型分布 q 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) q 设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立， 则 X + Y ~ P(λ1+ λ2) 二、二维连续型随机变量函数的分布 问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度 函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数 方法 从求Z 的分布函数出发,将有关Z 的 事件转化为有关( X ,Y )的事件 (1)和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )的联合密度函数为 p (x,y), 则 +￥ p (z) = p(x,z - x)dx -￥z+￥ (1) Z ò-￥ 或 +￥ pZ (z) = p(z - y, y)dy ò-￥ -￥z+￥ (2) 特别地，若X ,Y 相互独立，则 +￥ 记作 pZ (z) = pX (x)pY (z - x)dx = p (z)*p (z) ò-￥ X Y 或 +￥ 记作 pZ (z) = pX (z - y)pY (y)dy = p (z)*p (z) ò-￥ X Y 称之为函数 p X ( z) 与 p Y ( z)的卷积 例 设随机变数ξ，η独立，同服从λ = 1的指数 分布，求ξ +η的密度函数。 解：ξ +η的密度函数为 +￥ pξ +η ( y) = pξ (x)pη ( y - x)dx ò-￥ y = e-xe-( y-x)dx = ye-y , y 0 ò0 正态随机变量的结论 2 2 q 若X ,Y 相互独立, X ~ N(μ1,σ1 ),Y ~ N(μ2,σ2 ) 2 2 则 X +Y ~ N(μ1 + μ2 ,σ1 +σ 2 ) 推广 q 若 X 1, X 2 ,L, X n 相互独立, 2 X i ~ N(μi ,σ i ), i = 1,2,L,n n n n 则