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§1.4 随机变量的数字特征 一、离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的统计规律完全可以由 其概率函数或分布函数描述，但在许多实 际问题中，有时只需了解随机变量的某些 特征.例如考察一射手的水平, 只需要看他的 平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是 否小, 即环数的波动是否小.由此例看出与 随机变量有关的某些数值，虽不能完整地 描述随机变量，但能清晰地描述随机变量 在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在 理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性可用数字 来描写 下面引进的随机变量的数学期望这一数字 特征用于反映随机变量取值的平均位置。 定义 设 X 为离散型随机变量,其概率函数 为 P(X = xk ) = pk , k =1,2,L +￥ 若 ? | x k | p k ￥ k =1 则称和 +￥ ? x k p k k =1 为 X 的数学期望，记作 E( X )。 二、连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的密度函数为 +￥ p(x) ，若 | x | p(x)dx ￥ ò-￥ 绝对收敛, 则称此积分 +￥ xp ( x)dx ò-￥ 为 X 的数学期望，记作 E( X )。 例 假定X的分布列为 X ? ? ? P{X=x} ?? ?? ?? 求 ?? 解： ?? 0′ 0.1+1′ 0.6 + 2′ 0.3 = 1.2 例设随机变量?的密度函数为 ì x , 0 ￡ x 1 ? p(x) = í2 - x , 1 ￡ x ￡ 2 ? ? 0 , 其他 求?? +￥ 解：EX = xp(x)dx ò-￥ 0 1 2 +￥ = x ×0dx + x× xdx + x(2 - x)dx + x ×0dx ò-￥ ò0 ò1 ò2 =1 三、随机变量函数的数学期望 随机变量函数g(X )的数学期望 q 设离散型随机变量X 的分布列为 P(X = xi ) = pi , i =1,2,L ￥ 若 ?| g(xi)| pi ￥ ，则 i=1 ￥ E(g(X )) = ? g(xi ) pi i=1 q 设连续型随机变量X 的密度函数为p(x) +￥ 若 | g(x)| p(x)dx￥ , 则 ò-￥ +￥ E(g(X))= g(x)p(x)dx ò-￥ 四、随机变量的方差 定义 若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机 变量 X 的方差, 记为D (X ) 或 Var (X ) 并称 D(X ) 为 X 的标准差. D(X ) —— 描述随机变量 X 的取值偏离 其数学期望 的平均偏离程度 若 X 为离散型 随机变量，分布律为 P(X = xk ) = pk , k =1,2,L +￥ 则 2 D(X ) = ?(xk - E(X )) pk k=1 若 X 为连续型随机变量，概率密度为 p (x) +￥ 2 则 D( X ) = (x - E( X )) p(x)dx ò-￥ 计算方差的常用公式： D(X) = E(X 2)-E2(X) 例设随机变量?的密度函数为 ì x , 0￡ x 1 ? p(x) = í2- x , 1￡ x ￡ 2 ? ? 0 , 其他 求?? +￥ 解： EX 2 = x 2 p( x)dx ò-￥ 1 2 7 = x 2 × xdx + x 2 (2 - x)dx = ò0 ò1 6 而??? 故??? 五、随机变量的