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1.5 大数定律栶与中心极限定理枞 1.5.1 大数定律栶 伯努利（Bernoulli ） 大数定律 设 nA 是 n 次独立枱重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率样, 则 ?ε 0 有 ? n ? lim P? A ? p ≥ ε ? = 0 n→∞ ? n ? ? n ? 或 lim P? A ? p ε ? =1 n→∞ ? n ? 伯努利（（BernoulliBernoulliBernoulli）））大数定律的意义大数定律的意义 事件 A 发生的频率样nA n “ 稳定于”事件 A 在 一次试验中发生的概率样是指：在 n 足够大 n ? n ? 时,频率样 A 与 p 有较大偏差 ? A ? p ≥ ε ? 是 n ? n ? 小概率样事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率样近似代替 p . 这种稳定称为依概率样稳定， n 记为 A ??→P p, n → ∞ . n Chebyshev 大??定律 相互独立枱， 设随机变量柎序列柟 X 1 , X 2 ,L, X n ,L 又 D(X k ) ≤ c, k = ,2,1 L 则 ?ε 0 有 ? n n ? ? 1 1 ? lim P ∑ X k ? ∑ EX k ≥ ε = 0 n→∞ ? ? ? n k=1 n k=1 ? ? n n ? ? 1 1 ? 或 lim P ∑ X k ? ∑ EX k ε =1 n→∞ ? ? ? n k=1 n k=1 ? n n 1 1 P 记为 ∑ X k ? ∑ EX k ??→ ,0 n → ∞ n k=1 n k=1 辛钦大数定律 相互独立枱， 设随机变量柎序列柟 X 1 , X 2 ,L, X n ,L 具有相同分布的随机变量柎序列柟，且有有限 的数学期望 E(X k ) = μ, k = ,2,1 L，则 ?ε 0 有 ? 1 n μ ? lim P? ∑ X k ? ε ? =1 n→∞ ? n k=1 ? 定理枞的意义 具有相同数学期望的独立枱同分布随机变量柎 序列柟的前n项算术平均值与其数学期望有较 大偏差的概率样会随着n的增大而越来越小， 最后趋于零柲.，即当 n 足够大时, 算术平均 值几乎是一常数. 数学 算术 可被 近似代替 期望 均值 上述定理告诉我们,随机序列{ X n } 具有什么条件 才可使下面概率陈述成立: 对于任意给定的ε0 ,有 1 n 1 n lim P{| ∑ X k ? ∑ EX k |≥ ε} = 0 (*) n→∞ n k=1 n k=1 在概率样论案中约定,当(*) 式成立枱时,称随机变量柎序列柟 { X n } 服从大数定律栶(定理枞). 1.5.2 中心极限定理枞 独立同分布的中心极限定理 设随机变量柎序列柟 X1, X 2 ,L, X n ,L 独立枱并服 从同一分布, 且有期望和方差： 2 E(X k ) = μ , D(X k ) = σ ,0 k = ,2,1 L 则对于任意实数 μ x , ? n ? ? ∑ Xk ? n ? t2 σ 1 x ? lim P? k=1 x? = ∫ e 2 dt n→∞ ? ? 2π ?∞ ? n ?