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Zhu fengfeng
§2.3 常用的统计分布
确定统计量的分布是数理统计的基本
问题之一。正态总体是最常见的总体,
本节介绍的几个抽样分布均对正态总体
而言。
(1) 正态分布
2
若 ξ 1 , ξ 2 ,L , ξ n 相互独立,且 ξ i ~ N (μ i ,σ i ),
n n n
则 ? 2 2 ?
?aiξi ~ N??aiμi,?ai σi ÷
i=1 è i=1 i=1 ?
特别地,
2
若 ξ1 ,ξ 2 ,L ,ξ n 独立同分布且 ξi ~ N(μ,σ ),
1 n ? σ 2 ?
则 ? ÷
ξ = ?ξi ~ N?μ , ÷
n i=1 è n ?
分位数
定义 若X 的分布函数为F(x),实数α
满足0α1 ,若 xα 满足P(X xα )= F(xα ) =α
则称 xα为此概率分布的α 分位数。
α=0.5的分位数也称为此概率分布的中位
数。
若λ 满足 P(X 3 λ )= α ，则称λ 为此概
率分布的1- α 分???数或X的上侧 α 分位
数.
标准正态分布的 α 分位数
定义 若 U ~ N(0,1) ，则U的α 分位数记为
uα 。由标准正态分布密度函数的对称性知
= -
u1-α uα 0.4
0.3
0.2
α/2
0.1 α/2
-2 ? -1 1 ? 2
uα u -α
2 1 2
(2) χ2 分布
定义 设 X 1 , X 2 ,L , X n 相互独立, 且都服从
n
2 2
标准正态分布N (0,1),则称 χ = ? Xi 服从
i=1
自由度为n的χ 2分布，并记为χ 2 ~ χ 2 (n)
1.2
n = 1 时,其密度函数为 1
0.8
1 x 0.6
ì 1 - 2 - 2
? x e , x 0 0.4
p(x) = í 2π 0.2
? 2 4 6 8 10
? 0, x ￡ 0
n = 2 时,其密度函数为
1 -x
ì e 2 , x 0
p(x) =í 2
? 0, x 0
为参数为1/2的指数分布.
0.4
0.3
0.2
0.1
2 4 6 8 10
一般 自由度为 n 的 χ2(n) 的密度函数为
ì 0 , x ￡ 0
n x
? 1 -1 -
p ( x ) = í x 2 e 2 x 0
n n
? 2 2 G ( )
?? 2
+ ￥
其中 s 1 t
G ( s ) = t - e - dt , s 0
ò 0
称为Γ函数.
p(x)
0.4
n=2
0.3
n = 3
0.2 n = 5
n = 10
0.1 n = 15
5 10 15 20 25
χ
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