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数值分析讲义 PAGE 19 第1章 数值分析中的误差 一、重点内容 误差 设精确值 x* 的近似值 x，差 e＝x－x* 称为近似值 x 的误差(绝对误差)。 误差限 近似值 x 的误差限 e 是误差 e 的一个上界，即 |e|＝|x－x*|≤ε。 相对误差 er 是误差 e 与精确值 x* 的比值， 。常用 计算。 相对误差限 是相对误差的最大限度， ，常用 计算相对误差限。 绝对误差的运算： ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2) ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1) 有效数字 如果近似值 x 的误差限 ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说 x 准确到该位。从这一位起到前面第一个非 0 数字为止的所有数字称为 x 的有效数字。 关于有效数字： (1) 设精确值 x* 的近似值x， x＝±0.a1a2…an×10 m a1，a2，…，an 是 0～9 之中的自然数，且 a1≠0， |x－x*|≤ε＝0.5×10 m－l ，1≤l≤n 则 x 有l位有效数字. (2) 设近似值 x＝±0.a1a2…an×10m 有 n 位有效数字，则其相对误差限 (3) 设近似值 x＝±0.a1a2…an×10m 的相对误差限不大于 则它至少有 n 位有效数字。 (4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留 4 位小数。 一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差 e＝0.0926 的数 x＝20.7426 只有三位准确数字 2，0，7。 一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为 10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为 1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为 0.1% 的量级。 二、实例 例1 设 x*＝p＝3.1415926… 近似值 x＝3.14＝0.314×101，即 m＝1，它的误差是 0.001526…，有 |x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3 即 l＝3，故 x＝3.14 有 3 位有效数字。x＝3.14 准确到小数点后第 2 位。 又近似值 x＝3.1416，它的误差是 0.0000074…，有 |x－x*|＝0.0000074…≤0.5×101－5 即 m＝1，l＝5，x＝3.1416 有 5 位有效数字。 而近似值 x＝3.1415，它的误差是 0.0000926…，有 |x－x*|＝0.0000926…≤0.5×101－4 即 m＝1，l＝4，x＝3.1415 有 4 位有效数字。 这就是说某数有 s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s 位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s 位或 s－1 位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解 因为 x1＝2.000 4＝0.200 04×101，它的误差限 0.000 05＝0.5×10 1―5，即 m＝1，l＝5，故 x1＝2.000 4 有 5 位有效数字。相对误差限 。 x2＝－0.002 00，误差限 0.000 005，因为 m＝－2，l＝3，x2＝－0.002 00 有 3 位有效数字。相对误差限 e r＝0.000 005/0.002 00＝0.25%。 x3＝9 000，绝对误差限为 0.5，因为 m＝4，l＝4，x3＝9 000 有 4 位有效数字，相对误差限 e r＝0.5/9 000＝0.005 6%。 x4＝9 000.00，绝对误差限 0.005，因为 m＝4，l＝6，x4＝9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为 e r＝0.005/9 000.00＝0.000 056%。 由 x3 与 x4 可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。 例3 ln2＝0，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 三、练习题 1. 设某数 x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。 2. 设