数列排列组合的精讲与习题讲解.doc

PAGE  PAGE 6 数列、排列组合的精讲与习题讲解 数列 归纳法 递归数列 满足递推公式的数列称为递归数列。 特征方程 1.设其中，求的最小值。 解：取，若用u除一下，则得到了斐波那契级数。 取（u为待定常数） 由于，猜测它为最小值。 可以证明 用归纳法 当时，成立 设时成立 当时，可知等式成立。 可以证明所求的最小值为 只要证： 下面用归纳法证明。 当时，设满足条件 则且， 当时，由， 当时，设满足题设条件，则 由于 另一方面，由，从而 例1：已给定实数，使得，令， 求 存在非负整数k使得 其中若k为正整数，， 解：化为数列问题：， 先看系数的二阶行列式 （i）即 当 ，于是 （ii）,特征方程：，即 令 设，则 所以 令，即： 可得 设。证明，这样的数列只有一个。 分析：都是已知的，由知数列是唯一确定的。 证： 特征方程： 解出特征根 由， ，由 知c2=0 若不然，（1）c20,当n取充分大的奇数时， （2）c20,当n取充分大的偶数时， 都出现矛盾， ∴ 由 ∴ 例2 例3 同色△ 红 兰 兰 红 红 兰 (2) r条红边 一个点● 因为6个点,所以从任一点发出的边共5条 兰边 设5条中有r条边为红,5-r条边为蓝 兰边 以这个点为顶点的同色角为 函数迭代 定义和符号 设f(x)是定义在集合M上并在M上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f(1)(x)=f(x) (x∈M) f(n)(x)=f(f(n-1)(x)) (x∈M) (n≥2) f(n)(x)称为函数f(x)的n次迭代。 有时还规定f(0)(x)=f(x) (x∈M) 1．设f(x)=x2+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。 ①求证：A?B；②如果A={－1,3}，求B。 解析：①设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A ∵A={x|x=f(x)} ∴x0=f(x0)?f[f(x0)]=f(x0)=x0?x0∈B ∴A?B ②∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x}={x|x2+(p-1)x+q=0} ∴??f(x)= x2-x-3 ∵f[f(x)]=x?x4-2x3-6x2+6x+9=0?(x2-2x-3)(x2-3)=0?x=-1或3或或- ∴B={-1,3,-,}。