数学“存在性”问题的解题策略含解答-.doc

-  PAGE 8 - 数学“存在性”问题的解题策略 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。 【典型例题】 例1. 理由。 分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC斜边c的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt△ABC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。 解： ∴设a=3k，c=5k，则由勾股定理有b=4k， ∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方。 例2. （1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示） （2）若点A在点B的左侧，且x1·x20 ①当k取何值时，直线通过点B； ②是否存在实数k，使S△ABP=S△ABC？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。 分析：本题存在探究性体现在第（2）问的后半部分。认真观察图形，要使S△ABP=S△ABC，由于AB=AB，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP显然是△ABP的高线，而△ABC的高线，需由C作AB的垂线段，在两个高的长中含有字母k，就不难找到满足条件的k值。 解： ∵点A在点B左侧， ∴A（2k，0），B（2，0）， （2）过点C作CD⊥AB于点D ∴OP=CD 例3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交??线BT于点E，交直线AC于点F。 （1）当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 分析：第（1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一般思路，需要把它转化为比例式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太大的困难。难点在于让P点沿BA运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图形，并沿用原来的思路、方法去探索，看可否解决。第（3）问，从题意出发，由条 条件和结论显现出来。 证明：（1）（如图所示） ∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠C， ∵EF∥BC，∴∠AFP=∠C ∠AFP=∠EBA 又∵∠APF=∠EPB ∴△PFA∽△PBE ∴PA·PB=PE·PF （2）（如图所示） 当P为BA延长线上一点时，第（1）问的结论仍成立。 ∵BT切⊙O于点B ∴∠EBA=∠C ∵EP∥BC，∴∠PFA=∠C ∴∠EBA=∠PFA 又∵∠EPA=∠BPE ∴△PFA∽△PBE ∴PA·PB=PE·PF （3）作直径AH，连结BH，∴∠ABH=90°， ∵BT切⊙O于B，∴∠EBA=∠AHB 又∵∠AHB为锐角 ∴⊙O的半径为3。 例4. （1）求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点； （2）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S。 （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD⊥x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 分析：本题的难点是第（3）个问题。 我们应先假设在抛物线上存在这样的点P，然后由已知条件（面积关系）建立方程，