数学分析西北师范大学13.doc

PAGE 1 PAGE 172 S F 01（数） Ch 13 函数列与函数项级数 计划课时： 1 2 时 P 156—170 2002. 03.27 . Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） § 1 一致收敛性（ 6 时 ） 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义. 例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义 验证其收敛域为, 且 例2 . 用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . ⑴ . . ⑵ . . ⑶ 设为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . ⑷ . , . ⑸ 有, , . （ 注意.） 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D上 , . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一 种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果. 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列在数集D上一致收敛, , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式 ) 易见逐点收敛. 设,……,有 . 令, 对D成立, 即, ，D. 系1 在D上, ， . 系2 设在数集D上 , . 若存在数列D , 使 , 则函数列在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选 为函数 ― 在数集D上的最值点. 验证函数一致收敛性: . 证明函数列在R内一致收敛. . 证明在R内 , 但不一致收敛. 证 显然有, 在点处取得极大值 ,. 由系2 , 不一致收敛. 例6 . 证明在内, . 证 易见 而 在内成立. 由系1 , …… 例7 对定义在区间上的函数列 证明: , 但在上不一致收敛. [1]P38—39 E3, 参图. 证 时, 只要, 就有. 因此, 在上有 . , .于是, 在上有 . 但由于, , 因此 , 该函数列在上不一致收敛. 例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收敛性: ⑴ ; ⑵ . Ex [1]P44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P53—54 1⑴，2，3⑴. 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1． 函数项级数及其和函数：，, 前项部分和函数列，收敛 点，收敛域, 和函数, 余项. 例9 定义在内的函数项级数( 称为几何级数 ) 的部分和函数列为 , 收敛域为. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy准则 ) 级数在区间D上一致收敛, , 对D成立. 系 级数在区间D上一致收敛, , . Th3 级数在区间D上一致收敛, . 证明级数在R内一致收敛 . 证 令=, 则时 对R成立. …… 几何级数 在区间上一致收敛；但在内 非一致收敛. 证 在区间上 , 有 , . 一致收敛 ; 而在区间内 , 取, 有 , . 非一致收敛. ( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零, 非一致收敛.) 几