数学建模作业c.doc

衡阳师范学院数学与计算科学系 课程名称： 数学建模 系 别： 数学系 年级： 10级 专 业 班： 数学与应用数学2班 学 生 姓 名 刘 莉 娜 学 号 开 课 时 间： 2012 年 上 学 期 指 导 教 师： 阳 志 锋 内含： A 一篇建模论文 B 五篇实验报告 C 一篇学习报告 2012年 5月 4 日 学生宿舍的优化设计 一、摘要：为了综合评价学生宿舍的设计，本文考虑了宿舍楼的经济性、舒适性、安全性等相关指标。经济性主要和建设成本、运行成本、收费标准有关；舒适性主要和人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风有关；安全性主要和人员疏散和防盗有关。对于这些指标，我们一一进行量化，用具体的数学表达式衡量各个指标，最后采用层次分析法对综合性指标进行了判断，并得出最优的宿舍设计方案。在模型改进中，我们采用了等级赋分法使分析结果更加有说服力。 关键词：层次分析法；等级赋分法；量化；归一法；综合性指标 二、预备知识： （一）层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简记AHP）是美国匹兹堡大学教授萨蒂（Thomas L.Saaty)于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。其原理是把复杂问题分解为各个组成因素，将这些因素按支配关系分组形成有序的阶梯层次结构，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断，已决定决策诸因素相对重要性总的顺序。 1、层次分析法基本流程图如下（[1]）： 是否通过 系统分析 1-9尺度 特征向量求法 构造层次结构模型 建立成对比较矩阵 单排序计算权向量 一致性检验 评价结果 组合一致性检验 总排序计算组合权向量 是否通过 是 否 否 是 否 (层次分析法的基本程序) 2、构造成对比较矩阵（[2]） 从宿舍设计层次结构模型的准则层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9尺度（如下表），构造了成对比较矩阵，直到方案层为止。 尺度含义1与的影响相???3比的影响稍强5比的影响强7比的影响明显的强9比的影响绝对的强2,4,6,8与的影响之比在上述两个相邻等级之间1,1/2，…,1/9与的影响之比为上面的互反数(1-9尺度的含义) 3、计算权向量并做一致性检验([3]) 对于上面构造的成对比较矩阵用MATLAB软件计算出最大特征值及相对应的特征向量，随之利用一致性指标（1），随机一致性指标（2）和组合一致性比率（3）做一致性检验。如果检验在容许范围之内，那么特征向量作为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。 定义一致性指标为 （1） 1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51随机一致性指标的数值表 （2）定义一致性比率为 （3） 4、计算组合权向量并做组合一致性检验([2]) 利用（4）和MATLAB软件计算方案层对目标层的组合权向量，并用（5），（6），（7）和（8）做组合一致性检验。若检验在容许范围之内，则得到的组合权向量可以作为最终决策的依据；否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。 对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2、3层分别有，个因素，记第2，3层对第1，2层的权向量分别为 以为列向量构成矩阵 则第3层对第1层的组合权向量为 更一般地，若共有层，则第层对第1层（设只有一个因素）的组合权向量满足 ， 其中是以第层对第层的权向量为列向量组成的矩阵。于是最下层（第层）对最上层的组合权向量为 （4） 组合一致性检验可逐层进行。若第层的一致性指标为（是第层因素的数目），随机一致性指标为，定义 （5）