离散数学关系的概念.性质和运算.pptVIP

第6节 关系的概念、性质及合成; 定义1 设A,B是两个集合。A?B的任一子集R称为从A到B的一个二元关系。; 定义2 设R?A?B，集合 {x? x? A且?y ?B使得(x, y) ?R} 称为R的定义域，并记为dom(R)。;例如: A={1,2}，B={a,b,c}。; 定义1’ 设A,B是两个集合，一个从A?B到{是,否}的映射R，称为从A到B的一个二元关系，或A与B间的一个二元关系。; 定义1’’ 一个从A到B的多值部分映射R称为从A到B的一个二元关系。;例如：设A={1,2}，B={a,b,c}，; 集合{(a, a)? a ?A}称为A上的恒等关系或相等关 系，并记为IA。;例1：整除关系; 定义3 设A1,A2,...,An是n个集合，一个 A1?A2?...?An的子集R称为A1,A2,...,An间的n元关系。 每个Ai称为R的一个域。;姓名 A;2 关系的性质; 例1：IX是X上的自反关系，但IX的任一真子集R?IX不是X上的自反关系。; 定义2 X上的二元??系R称为反自反的，如果 ?x ?X，都有(x, x) ?R。; 定义3 设R为X上的二元关系。如果?x, y ?X, 只要xRy就有yRx，则称R是对称的。; 定义4 设R为X上的二元关系。对X的任意元素x,y,如果xRy且yRx，则x=y，那么就称R为反对称的。; 定义8：设R为X上的二元关系。如果对X上的任意x,y,z，只要xRy且yRz，就有xRz，则称R为传递关系。;例13：设R为X上的二元关系。如果R??且R是反自反和对称的，则R不是传递的。;; 定义1 设R是A到B的二元关系，S是B到C的二元关系。R与S的合成是A到C的一个二元关系，记成R?S，并且 R?S={(x,z)?(x,z)?A?C且?y?B使得xRy且ySz}; 定理1 设R1,R2,R3分别是从A到B，B到C，C到D的二元关系，则(R1?R2)?R3=R1?(R2?R3)。; 4、一般说来，合成运算对差运算不满足分配律：; 定理3 设R,S是集合X上的两个二元关系，则 (1)(R?S)-1=S-1?R-1； (2)R?R-1是对称的。;关系幂运算的定义及性质; 定理7 设R是X上的二元关系。如果存在非负整数s,t，st，使得Rs=Rt，则