第1章量子力学基础3.pptVIP

量子力学公设显得很抽象。下面以一个最简单的体系为例，看看量子力学如何处理微观体系，由此体会到量子力学虽然理论深奥、数学复杂、概念抽象，甚至听起来违背人们熟悉的常识，但其物理意义是非常真实的。; 一维无限深势阱中粒子是指: 一个质量为m的粒子被置于阱外势能无穷大、阱内势能为零（即无限深）的阱中，沿x方向运动. 对于某些实际问题，例如金属内的自由电子或共轭分子的π电子，无限深势阱中的粒子模型可以作为一种近似模型.;1. 写出体系势能函数，进而写出Hamilton算符； 2. 写出Schr?dinger 方程； 3. 解方程, 求出满足合格条件的解，得到体系的波函数及相应的能量； 4. 对求解结果进行讨论，作出适当的结论。;一个质量为m的 粒子，在一维 x 方向上运动。 0 ， 0 ﹤x ﹤ l V = ∞ ， x ≤0 和 x≥ l V= ∞ V=0 V= ∞ 0 x l ; n≠ 0 ∴ E= n2 h2 / 8m l2 *** Ψ（x）= c2 sin (nπx/ l ） ***; C2可由归一化条件求出 ;讨论：; 势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时， l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包含正弦波一个半周期……。随着能级升高，波函数的节点越来越多。而概率分布函数告诉我们自由粒子在势箱中出现的概率大小。例如：基态时，粒子在 处出现概率最大。而第一激发态，粒子在 处出现几率为0，在 处出现几率最大。 ; 讨 论 ;体系的波函数与能量： 当n=1时，体系处于基态 。　 ; 讨 论 ; 讨 论 ; (6) 能级差与粒子质量成反比，与粒子运动范围的平方成反比.这表明量子化是微观世界的特征. 从这一规律定性地看更复杂的三维体系就不难理解：普通金属费米能级附近的准连续能级在纳米颗粒中会变为离散能级，而半导体中本来存在的窄能隙在纳米颗粒中会变宽. 当这种能级差大于热能、电场能或者磁场能时，就会呈现出与宏观物体不同的反常特性，即量子尺寸效应. 例如，金属在超微颗粒时可变成绝缘体，光谱线向短波长方向移动，等等.; (7) En=n2h2/（8ml2）表明：对于给定的n，En与l2成反比,即粒子运动范围增大，能量降低.这正是化学中大π键离域能的来源(下图分别是苯和丁二烯大π轨道中能量最低的轨道,它们都有离域化特征):;?一维势箱模型应用示例; (8) 基态能量E1=h2/（8ml2）,表明体系有一份永远不可剥夺的能量，即零点能.这是不确定关系的必然结果.在分子振动光谱、同位素效应和热化学数据理论计算等问题中,零点能都有实际意义.; （9）一维无限深势阱中的粒子具有确定能量时没有确定的坐标。这可从算符的对易关系来考察:;箱中粒子的各种物理量;（2）粒子动量的x轴分量px;（3）粒子的动量平方px2值; 由一维无限深势阱中粒子推广到三维无限深势阱中的粒子，能量本征方程为： ;三维势箱中粒子运动的Schr?dinger方程：;其中三个量子数nx、ny、nz是独立变化的. 若a=b=c，势阱成为正方体，能级成为: 一维无限深势阱中的粒子未曾有过的新现象出现了：具有不同量子数的态尽管是互不相同的独立的波函数，却可能具有相同的能量： ; 三维无限深正方体势阱中粒子的简并态;三维无限深正方体势阱中粒子的波函数; 这种现象就是所谓的“简并性”. 同一能级对应的状态数为简并度. 简并通常与对称性有关，对称性降低往往会使简并度降低甚至完全解除. 所以，正方体势阱中粒子的简并现象, 在三