第2章主方程(Masterequation).pptVIP

第二章 主方程(Master equation);2.1 主方程的推导;不同时刻概率密度之间的关系（上式对 积分）：;（II）马尔科夫过程(Markov process);(III) 主方程(Master equation);(IV) 细致平衡和Monte Carlo模拟;(V) 福克-普朗克(Fokker-Planck)方程;2.2 马尔科夫链(Markov chain);一个例子（雷克书P.173）：考虑两个罐子A和B，有三个红球和两个白球分配给它们，并总使得A中有两个球。共有下面三种位形： 位形间的转移为：无规则地从A和B中各取一个球进行交换。 转移矩阵为 且易知 是正则的: 令 表示定态，由方程： 可解出定态，结果为： ，与初态无关。;2.3无规行走和扩散方程;假定初始时刻 并引入P1(x,t)对x的傅里叶变换（特征函数）， 扩散方程可变为：;2.4 生灭过程，主方程的求解;对依赖于离散随机变量的主方程的求解：生成函数法;把以上表达式带入到主方程中我们有： （**） 因此方程(**)和主方程是等价的，我们只需解方程(**)。 ;2.5 离散平稳马尔科夫过程的普遍解;转移矩阵Q;2.6 近似方法--- Ω展开（I）简单例子：一维无规行走;(II) 一般情形;近似：W对系统参量Ω的展开;于是我们有： 和 主方程随之变为： 把上式右边第一项在 附近作泰勒展开 并重新标定时间f(Ω)t= Ωτ后，主方程最终变为： 其中 和 ;在主方程里保留到 ，可得： 要满足上式，只须取 这里 在主方程里保留到Ω的零级项，可得关于概率密度 的Fokker-Planck方程： 由上式即可得扰动x的平均值和矩等的运动方程。对平稳过程，上述方程右端的系数与时间无关。如在τ=0有 ，并定义 及 和 ，上述Fokker-Planck方程可变为一个广义扩散方程： 主方程展开到Ω的 级项时，W的泰勒展开的第二项ω1将开始有贡献。;2.7 非线性生灭过程---马尔萨斯方程;在t时刻个体平均数的方程为： 这个方程中一级矩的演化依赖于二级矩。为此把n在其平均值附近展开： 并保留到Ω级的项，我们发现： 此方程的解为 特点：