第2章弹性力学课件.pptVIP

第二章 应力状态理论;应力的概念是固体力学的最重要的概念之一,应力分量具有张量的性质，符合张量的坐标变换规律。 考虑单元体的平衡，得到平衡微分方程，在边界上得到边界条件，边界条件在弹性力学问题的求解中占有重要的地位。;2.1 张量的概念与坐标变换 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 平衡微分方程 2.4 边界条件 2.5 主应力和应力张量不变量 2.6 转轴时应力张量的变换 2.7 圣维南原理 2.8 例题 ;2.1 张量的概念与坐标变换; 可以将坐标x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 通常可简记为xi,各轴的基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei, 在此坐标系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi。 矢量的点积: 一个矢量和另一个矢量的点积可以决定一个标量，用指标符号可记为:; 求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。 不求和的指标称为自由指标。一项中有相它符号的指标，通常有泛指的意义。; ;记基矢的混合积 (e i ×e j ）·e k = e ijk 其中;将求导符号简记为：; 标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足规定坐标变换公式的物理量称为张量。 标量称为零张量，矢量为一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量。;应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性，即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为 。 = ;2.2 应力和一点的应力状态;;;; 在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。我们从中取出一个单元体dv=dxdydz加以分析,物体内某点的正应力为σi。; 图示单元体z轴方向的平衡，在z面的负面z处，正应力记为σz,;在y面的负面y处，切应力记为τyz,;同理得到x、y方向的静力（或运动）平衡微分方程:;平面状态的平衡微分方程为：; 平衡微分方程的矩阵形式是：Lσ+ F = 0其中L是微分算子：;按照边界条件的不同，弹性力学问题可分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。 位移边界问题：物体在全部边界上的位移分量是已知的。 应力边界问题：物体在全部边界上的应力分量是已知的。 混合边界条件：物体一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界具有已知面力，因而具有应力边界条件。;在外力作用下，我们从物体从中取出的单元体位于边界处，则单元体内部应力形成的内力和边界上的外力平衡。; 设边界上一点处A的外力沿轴向的分量为px, py （沿正向为正）。; 设斜面ACD为边界面，其外法线n的方向为(l1,l2,l3)，面积为ΔS，边界外力p分量为(px，py，,pz)，则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为ΔS在各相应方向上的投影为l1ΔS, l2ΔS, l3ΔS。四面体的体积为 dv。;注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。;由y、z方向的平衡得到: py= l1τxy+l2σy+l3τzy pz= l1τxz +l2τyz+l3σz; 如果四面体取自物体内部，则(px，py，,pz)是斜面上的应力σv（P）沿原坐标轴方向上的分量，将其与斜面的方向矢量点积，则得到该面上的法向应力（正应力）;切应力可按矢量方法求得：;当坐标转动时，受力物体内任一确定点的九个应力量将随着改变。在坐标系不断转动过程中，必然能找到一个坐标系，使得该点在该坐标系中只有正应力分量，而剪应力分量为零。 把这样的微分面称为主微分面，简称主平面，其法向方向称为应力主方向，而其上的应力称为主应力。 ;前面得到的就是斜面应力公式，它给出了物体内一点的九个应力分量与通过同一点的各微分面上应力之间的关系。这样要了解各点的应力状态问题，化为求出各点的九个应力量的问题。;上式是ni的线性代数方程组。其非零解存在条件：;由于方程（*）的根不变，故方程总的系数一定为不变量。如果坐标轴恰好与三个主方向重合，则应力张量简化为？;; 2.6 转轴时应力分量的变换;;其中新坐标系下的应力可表示为：;;; 应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换公式为; 以平面应力状态为例，设新坐标系由原坐标系逆时针转动θ而成，新坐标轴的基矢e 1 、e2 对原基矢e1 、e2 的过渡矩阵为式 [lij]=l， 则坐标变换公式 [σij]=l[σij]lT;其展开形式为;当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，