第2节矩阵的特征值与特征向量.pptVIP

第五章 相似矩阵与二次型 §2 方阵的特征值和特征向量 §1 向量的内积 §3 相似矩阵 §4 对称矩阵的对角化问题 §5 二次型及其标准形 §6　正定二次型 §2 方阵的特征值和特征向量 例1~4 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的计算 特征值与特征向量的性质 例5~9 特征值与特征向量的概念 定义 注: 有非零解的值, 非 特征值与特征向量的概念 定义 非 程, 特征多项式. 特征值与特征向量的计算 定义 非 根据上述定义, 即可给出特征向量的求法: 则由齐次线性方程组 特征向量. 则 完 解 代入与特征方程对应的齐次线性方程组, 求矩阵 所以 得 故 征向量. 解 求矩阵 完 得 特征向量. 故 解 特征值 由 基础解系 解 由 基础解系 由 解 由 得基础解系 故对应于 完 解 特征向量. 解 性无关的向量都是它的基础解系, 取单位向量组 作为基础解系, 这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 完 解 因此 这是一个上三角行列式, 因此, 完 特征值与特征向量的性质 性质1 证 有 故它们的特征值相同. 性质2 则 特征值与特征向量的性质 性质2 则 则 完 证 试证: 是 必要性 于是 充分性 对应的特征向量为 由特征值的定义, 有 由此可知 证 证明 因 证毕. 故 即 于是 定理 对 应的特征向量 证 用数学归纳法. 因特征向量不为零, 成立. 对应的特征向量 设 成立, 得 结论 定理 对 应的特征向量 证 得 于是①式化为 定理 对 应的特征向量 注: 线性无关的特征向量; 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是 属于这个特征值的特征向量; 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量 不能属于不同的特征值. 因为, 的特征向量, 即 定理 对 应的特征向量 因为, 的特征向量, 即 与定义矛盾. 故结论成立. 完 解 的线性无关的特征向量组. 这个多项式的根为 接下来求特征向量: 解 接下来求特征向量: 因此齐 量, 不难求出为 得 解 求出这个齐次线性方程组的基础解系为 正好等于 因此 个, 完 证 按题设, 故 用反证法, 则应存在数 于是 即 证明 有 的特征向量. 对 故由上式得 证 用反证法, 在数 于是 即 证明 的特征向量. 对 故由上式得 则应存 即 因此 完 证 即 因 ① 根, 证 ① 根, 在教科书中, 上述两种表示法均可使用. 零解. ② 完