第3章图像信号的正交变换.pptVIP

第三章 图像信号的正交变换;傅立叶变换;3.2傅立叶变换 一、连续周期函数的傅立叶级数 二、一维傅立叶变换 定义： ; 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得： ;在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：;三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系 1、冲激函数及其性质 定义： 性质： 尺度变换： 筛选性质： 与普通函数的卷积 ;2、采样和插值 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致频域的周期化。 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品，逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函数作卷积。 ;3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系 抽样、截断。;四、傅立叶变换的性质 1、对称性： 任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即 ;如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换规则： 1、实的偶部产生实的偶部 2、实的奇部产生虚的奇部 3、虚的偶部产生虚的偶部 4、虚的奇部产生实的奇部 通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。 2、加法定理 3、位移定理 ;4、卷积定理 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题，可变换到另一个域中作处理。 5、相似性定理 ;6、Rayleigh定理（能量不变定理） 定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量不变）;五、二维离散傅立叶变换 1、定义 设一幅图像的长、宽分别为M、N，则 ;当图像的长宽一致，且同为N时，得： 2、性质： 可分离性：;旋转不变性： 将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。 投影 将f(x,y)投影到x轴上得到： 改写为： ;六、实例 ;;;3.3数字图像的正交基表示 傅立叶变换的物理意义？变换的数学本质？ 1.一维离散线性变换（线性方程组） 如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换： 来得到。;如： 正变换通常看作是一个分解过程：将信号分解成它的各个基元分量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原信号中各分量所占的量。 反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的大小。 ;2.二维离散线性变换 对于 点的矩阵的变换： 其中g 和h可看作是由 点的块矩阵：每一行有N块，共有N行，每一块又是一个 的矩阵。 如果变换核（g 和h）是可分离的，即 ;则二维离散变换可表为： ;上两式写为矩阵形式： 如果变换矩阵为酉矩阵，则满足： 更进一步，如果变换矩阵的元素都是实的，则变换矩阵为正交的，此时： ;大部分情况下，变换矩阵为对称的，则正变换和反变换相同，因此 这样，任何一组正交向量集都可用于一个线性变换，但选择不同基向量组，将得到不同的变换结果，图像的正交变换的内容就在于选择合适的图像基函数，以达到不同的用途。 将变换的形式写为外积（矢量积）形式，可把图像看作是由基本图像按一定权值的组合。 ;3.3离散余弦变换 1. 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了DCT变换。 2. 离散余弦变换的定义 一维DCT变换对： ;二维DCT： ;反变换： ; 余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。同时，DCT也有快速计算方法。 ;3.4沃尔什变换（walsh） 存储空间小、运算速度快。 主要用于实时图像处理 只包括+1和-1两个数值构成完备正交基。 ;上机内容： 1、利用菜单编辑器，编辑一反色菜单项，并编写代码实现图像的反色。 2、编辑一快速傅立叶变换的菜单项，并编写相应的消息响应函数，调用给定傅立叶变换函数，实现图像的傅立叶变换。