第3讲常用的数学思维方法.pptVIP

第三讲 常用方法 一 分类方法 二 数形结合方法 三 特殊化方法; 第一节 分类方法 一、分类方法 1、分类及其要素 分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，分类也叫划分。 数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。; 分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类；从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。 分类具有三要素: （1）母项，即被划分的对象； （2）子项，即划分后所得的类概念； （3）根据，即划分的标准。; 2、分类标准 分类的关键在于正确地选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复???无遗漏的划分。 例如，将平行四边形分成矩形、菱形、正方形是不恰当的。因为在矩形和菱形中都包含正方形，而且还存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四边形。又如，将自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏掉“l”这个既非质数又非合数的自然数。 ; 对同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类。例如,三角形的分类可按角、边分类。 有些数学对象比较复杂，仅仅进行一次分类，不足以将问题讨论清楚，需要进一步对其中一类或几类继续分类，既进行多级分类。在多级分类中，常常采用“二分法”，也就是按某一性质的有无进行分类。例如，对复数的分类等。; 3、现象分类与本质分类 数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即根据事物的本质特征或内部联系进行分类。 ; 对数学对象的本质分类有个逐步深化的过程。 只是到了20世纪30年代前后，法国的布尔巴基学派深人研究了整个数学的全貌才提出了新的分类方法。他们从全部数学中提炼出三种母结构：代数结构、序结构和拓扑结构，把所有的数学按照这三种结构的不同组合加以分类。 ; 二、分类的原则 任何分类，都必须遵循下列四个原则。 1、不重复 不重复，即要求分类应是纯粹的。 2、无遗漏 无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。 ; 3、标准同一 是在一次分类中只能按同一标准进行，两者不可混淆。 4、按层次逐步划分 分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。否则就会出现越级划分的错误。 ; 三、分类方法的应用 1、分类可使知识条理化、系统化 通过分类可以使大量繁杂的知识条理化、系统化，有助于人们更好地掌握知识和形成良好的知识结构，并为进行分门别类的深人研究创造条件。 ; 2、分类讨论 所谓分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的、合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使问题得到圆满解决。数学教学中引起“分类讨论”的原因大致有如下几个方面。 ; (1)由概念的定义引起的讨论 数学中许多概念的定义是分类给出的，如绝对值、平方根、一元二次方程的实根个数与系数的关系等。当题目中涉及到这些概念时就需要进行分类讨论。; （2）由运算性质、运算法则引起的讨论 因为数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，如不等式的运算性质，就是按不等号两边同乘（除）以正、负数的不同而决定不等号方向是否改变。又如，在除法运算中必须考虑零不能作除数等。因此，解答这类问题时需要进行分类讨论。;; （3）由图形位置的不确定性引起的讨论 有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达题意，必须仔细、全面地考虑各种可能的不同位置关系，然后分类讨论，逐一加以解决。 ; （4）由问题中含有字母参数引起的讨论 许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值的不同，会使问题出现不同的结果。遇到这类问题，需要对字母参数的取值情况进行讨论。 ; （5）由于问题提供的情景比较复杂需要分类讨论 ; 解法二 如果没有限制条件，从5双中任取4只，共有120种取法。所有这些取法可以分为两类： 一类是，4只中没有2只能配成一双的取法； 另一类是，4只中至少有2只配成一双的取法，这正是所要求的取法。; 第二节 数形结合方法 一、数形结合方法