第4章3向量组的秩.pptVIP

证明 记 ，根据定理 容易看出矩阵B中有不等于0 的2 阶子式，故 向量组的等价 定义1 设有向量组 性表示． 如果向量组 和向量组 能互相线性表示, 则称这两个向量组等价． 若向量组 中的每一个向量都能由向量组 则称向量组 能由向量组 线 线性表示， 设向量组 能由向量组 线性表示， 记 则（1）式可写成 即存在着数 使 从而 其中 称为 向量组 由向量组 线性表示的系数矩阵． 矩阵方程 有解． 命题2 若矩阵 经过初等行（列）变换变成 命题1 若 为有限个列向量组成的向量组， 则组 能由组 线性表示的充分必要条件是 其中，矩阵 由 来确定． 矩阵 ， 则矩阵 的行（列）向量组与矩阵 的行（列）向量组等价． 定理1 设向量组 均为列向量组成的向量组, 则向量组 能由向量组 线性表示的 充分必要条件为 推论： 向量组 和向量组 等价的充要条件是 例1 设 证明向量组 与 等价. 1的推论，只要证 为此 把矩阵 化成阶梯形式： 可见， 又 从而向量组 与 等价. 于是知 . 因此 1.引例：判定向量组 解： 及其部分组的线性相关性。 二、向量组的秩 对于一个相关向量组来说 a.部分组可能相关，也可能无关；（如前） b.若存在部分无关组，则必有含向量个数最多的无 关组，称其为最大无关组，且最大无关组可能不 唯一（如前（2））。 四 向量组的秩 向量组的等价 定义1 设有向量组 性表示． 如果向量组 和向量组 能互相线性表示, 则称这两个向量组等价． 若向量组 中的每一个向量都能由向量组 则称向量组 能由向量组 线 线性表示， 中能选出 个向量 满足 定义2 若向量组 (有限个或无限多个向量) 向量组 ： 线性无关； 则称 ： 为 的一个最大线性 （1） （2） 中的任意向量均可由向量组 线性表示； 无关向量组（简称最大无关组）． 2、向量组的秩 例如，向量组 线性无关， 线性无关， 故 都是 的最大无关组. 显然，这些最大无关组所含向量的个数相同． 线性无关， 向量组 线性表示，则 定理2 　 设有向量组 若向量组 线性无关，且向量组 能由 即 若向量组 可由向量组 线性表示， 且 ，则向量组 线性相关． 推论1 两个线性无关的向量组若是等价的， 推论2 两个等价的向量组的最大无关组 则它们必含有相同个数的向量． 含有相同个数的向量． 推论3 一个向量组的任意两个最大无关组 所含向量个数相等． 是 的一个最大无关组， 的秩为 ． 则 维单位坐标向量 定义3 向量组的最大无关组所含向量的个数称 为该向量组的秩． 例1 只含零向量的向量组没有最大无关组， 规定它的秩为零． 例2 维向量的全体组成的集合记作 则向量组 的秩不大于向量组 的秩． 定理2 若向量组 能由向量组 线性表示， （1）向量组 ： 线性无关； 一个最大无关组，称数 为向量组 的秩． （2）向量组 中的任意 个向量均线性相关， 则称向量组 ： 是向量组 的 定义4 如果向量组 中能选出r个向量 满足： 矩阵的秩与向量组的秩的关系 即矩阵 的秩等于它的行向量组的秩 定理3 设矩阵 ，则 由该定理可知，用初等变换可以求由有限个向量组成的向量组的秩． 也等于它的列向量组的秩。 例3 设有向量组 ： （1）求向量组 的秩并判定 的线性相关性； （3）将 中的其余向量用所求出的最大无关组 （2）求向量组 的一个最大无关组； 线性表示． 用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形 解 （1）以 为列向量作矩阵 ， 于是 的列秩 故，向量组 的秩为3，且向量组 线性无关. 故 为向量组