第4章向量空间定稿.pptVIP

第四章 向量空间 §4.2 向量内积 一、向量空间的概念 二、向量空间的基与维数 §4.3 正交矩阵 §4.1 向量空间 说明 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 . 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 1．集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 那么，向量组 就称为向量空间　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因为它没有基． 说明 （2）若把向量空间 看作向量组，那么 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. （3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 有序数组 称为向量 在基 下的坐标。 §4.2 向量的内积 一、向量内积 三、向量正交 二、向量长度 内积： 称 为向量 用矩阵记号可表示为 返回 一、向量内积 ※ 内积的性质 当且仅当 返回 二、向量长度: １、向量长度也称为向量范数 ２、长度为１的向量称为单位向量(或称标准化向量) 说明： 3 、 向量长度的性质： 这表明任何非零向量的长度为正数，零向量的长度为零 ３.柯西－施瓦茨不等式． 由柯西－施瓦茨不等式得 返回 三、向量正交 引例： 两个非零向量的内积可能等于零 １.零向量与任何向量正交. 性质 ２.与自己正交的向量只有零向量 ３.正交向量组是线性无关的． 证明 线性无关. 解 取 例５ 已知 两个向量 正交, 试求一个非零向量 使 两两正交. 为所求 返回 的标准正交基 第一步，将它们正交化；第二步，再单位化 返回 标准正交基的求法 1.给定 任意一组基将它变为标准正交基的步骤如下 (1)利用下面所述的施密特正交化方法,由这组基生成 个向量的正交向量组 (2)将正交向量组中每个向量标准化 这样就得到 的一组标准正交基 首先正交化 (施密特正交化方法)令： 这样做出的向量组 （1）与向量组 （2）是正交向量组. 是等价的. *证明：（1）显然.下面证（2）. 对 s 作数学归纳法. 当 S =2时， 即 正交. 假设s = i-1时，结论成立，即 两两正交. 当s = i 时，要证 两两正交. 只需证 分别与 正交. 用 与 作内积得： 即 与 正交. 得证. 其次标准化（单位化） 令 于是 就是与线性无关向量组 等价的标准正交向量组． 例4 解 再把它们单位化，取