第4章最小二乘法估计.pptVIP

第五章 参数的最小二乘法估计;主要内容;最小二乘法是一种在数据处理和误差估计等多学科领域得到广泛应用的数学工具。随着现代数学和计算机技术的发展，最小二乘法成为参数估计、数据处理、回归分析和经验公式拟合中必不可少的手段，并已形成统计推断的一种准则。通过本章的学习，可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在组合测量问题的数据处理中的应用 。 ;关于最小二乘法(二);关于最小二乘法(三);第一节　 最小二乘法原理 ;　最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。 ;根据概率乘法定理，测得值 　　　　同时出现的概率为 ;以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法原理。它是以最小二乘方而得名。 为从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。例如 （1）最小绝对残差和法： （2）最小最大残差法： （3）最小广义极差法：;第二节　线性参数的最小二乘法;先举一个实际遇到的测量问题，为精密测定三个电容值: 采用的测量方案是，分别等权、独立测得 ,列出待解的数学模型。这是一个组合测量的问题。;如为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量 ;这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为 ，按最小二乘法原理 ; 分别对 求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程组。 ;以下，一般地讨论线性参数测量方程组 的最小二乘解及其精度估计。;第二节　线性参数的最小二乘法;设线性测量方程组的一般形式为： ;即;因 含有测量误差，每个测量方程都不 严格成立，故有相应的测量残差方程组 ;按最小二乘法原理，待求的 应满足 ;正规方程组 ;第二节　线性参数的最小二乘法; 和 分别为如下两列向量的内积：;测量方程组系数与正规方程组系数;（1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。 （2）其它系数关于主对角线对称 （3）方程个数等于待求量个数，有唯一解。 由此可见，线性测量方程组的最小二乘解 归结为对线性正规方程组的求解。 ;二、正规方程组 的矩阵形式;为了便于进一步讨论问题，下面借助矩阵 工具给出正规方程组的矩阵形式。记列向量 ;第二节　线性参数的最小二乘法;;利用矩阵的导数及其性质有 ;令;小　　结;线性测量方程组的一般形式为 ;最小二乘法原理式 ;三、精度估计;对测量数据的最小二乘法处理，其最终结果不仅要给出待求量的最可信赖值，还要确定其可信赖程度，即估计其精度。具体内容包含有两方面：一是估计直接测量结果 　　　　　的精度；二是估计待求量 　　　　　的精度。;1．直接测量结果的精度估计;令t=1，由上式又导出了Bessel公式。 ;2．待求量的精度估计 ;可求待求量的协方差 ;d11;d21;dt1;是直接测量数据的标准差，可按;待求量 与 的相关系数;小　　结;1、直接测量结果的标准差估计 ;例 2为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量　　　，进行了等权、独立、无系统误差的测量。测得1号电容值 　　，2号电容值　　　　，1号和3号并联电容值　　　，2号和3号并联电容值　　　　。试用最小二乘法求　　　　及其标准偏差。 ;矩阵形式;第二节　线性参数的最小二乘法;即;代入残差方程组，计算 ;第三节　非线性参数的???小二乘法;第三节　非线性参数的最小二乘法;例 3;　对前４个线性测量方程组，按例2求出解，作为初次近似解 ;写出线性化残差方程组 ;6次迭代结果;第四节　组合测量应用举例;例 4;计算步骤;解出;代入残差方程组可得