级数例题讲解一.doc

高 等 数 学（1）学 习 辅 导（12） 级数例题讲解（一） （一）、填空题 1．若数项级数 收敛，则_________。 解：由级数收敛的必要条件知，。 应填： 2. 当　　　　　时，几何级数收敛；当________时， 发散。 解：由几何级数的性质可知，当时，收敛．发散． 应填：； 3. 级数 当________时收敛；当________时发散。 解：由p－级数的性质可知：，收敛；，发散。 应填：； 4. 级数是　　　　　级数． 解：级数收敛，级数发散， 由级数的性质可知是发散级数． 应填：发散 当________时，级数 收敛。 解：由莱布尼兹判别法知，，级数 收敛。 应填： 6. 幂级数 的收敛半径是_______，收敛区间是__________。 解：由几何级数的性质可知，，级数 收敛 ，级数 发散 应填：； 。 二、单项选择题 1．若数项级数 收敛，Sn是此级数的部分和，则必有（ ）。 （A） （B） （C）Sn有极限 （D）Sn是单调的 解： 由级数收敛的定义，知C真确 应选C 2. 下列级数中，（　）收敛． A.；　　 B.；　 C.； D. 解：由级数的收敛性可知A, B选项中的级数发散；C选项中的级数一般项不趋于0，由收敛的必要条件知其发散；满足莱布尼茨判别法的条件，所以收敛，故选项D正确． 应选D 3. 若条件（ ）成立，则级数 发散，其中Sn表示此级数的部分和。 （A） （B） （C） （D） 不存在 解： 由级数收敛的必要条件知，D正确 应选D 4. 级数的和是（　）． A.；　　　　 B. 2；　　　　 C.；　　　　 D. 1 解：由级数的性质可得 应选A 5. 当（ ）时几何级数 （a≠0）。 （A）q为任意常数 （B）q≠1 （C）q＞0 （D）|q|＜1 解：几何级数收敛的条件是 |q|＜1，D真确。 应选D 6. 若，则（　）． A.；　　　B.；　　　C.；　　　D. 解： ，由此得， 即。故选项A正确． 应选A 7. 下列级数中收敛的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解： 两个收敛级数的和仍收敛， 应选C 8. 下列命题正确的是（ ）。 （A）若 发散，则 都发散 （B）?? 收敛，则 都收敛 （C）若 收敛，则 收敛 （C为常数） （D）若 收敛，则 收敛 解： 由级数收敛的性质，D真确，其中（C）中级数附加条件C≠0，则是正确的。 应选D 9. 下列级数中收敛的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解： 由p－级数收敛的条件，D真确。 应选D 10. 下列级数中发散的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解： ，（通项极限不为零）。级数发散 应选C