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第四章 随机数产生原理 Principle of Random Number Generation;§4.1 引言 §4.2 伪随机数产生原理 §4.3 [0，1]均匀分布随机数的算法 §4.4 其他分布随机数的产生 §4.5 正态分布随机数的产生 §4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器 §4.7 随机数的检验 §4.8 案例分析;以随机数产生为基础的Monte-Carlo方法已成为现代科研的重要手段之一。其意义早以超出了概率论与数理统计的范畴。广泛应用于计算方法、随机数规划、管理科学、物理化学中的高分子结构的研究等领域。我们来看一些例子。 ;1、数值计算的研究;这是一个众所周知的积分公式，我们当然也可以把它一般的看为是一个高维积分，如果从传统的数值计算方法来看待，则高维问题是随着维数的增加计算量成指数增加的，计算很快就失去控制。但是如果我们换一个角度来看待这个问题，从概率论的角度，它实际是： ;【例4.1.1】 用Monte-Carlo 对 积分;面积计算结果为： s = 0.3482 ;【例4.1.2】 利用Monte-Carlo方法计算定积分。;这里 x 是积分定义域中的均匀分布随机数，这是革命性的一个视角。从这个视角，我们把繁难的积分计算变成了简单的算术平均，而大量的抽样计算又是计算机的拿手好戏，更重要的是当维数增加时并不增加计算难度，从而用 Monte-Carlo 方法研究高维积分问题已是当今计算数学界的热门课题。 ;;§4.1 引言 §4.2 伪随机数产生原理 §4.3 [0，1]均匀分布随机数的算法 §4.4 其他分布随机数的产生 §4.5 正态分布随机数的产生 §4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器 §4.7 随机数的检验 §4.8 案例分析;前面Monte-Carlo方法的例子是以高质量的随机数为基础的。通过完全的随机抽样或调查可以产生随机序列。;基本定理： 如果随机变量X的分布函数F（x）连续，则R = F（x）是 [0，1]上的均匀分布的随机变量。;=; 基本定理给出了任一随机变量和均匀分布R之间的关系。而有些随机变量可以通过分布函数的逆变换来获得，因此如果我们可以产生高质量的均匀分布，我们就可以通过变换获得高质量的其他分布。见公式 (4.2.3);例4.2.1 产生1000个均匀分布随机数，利用变换产生λ=6的指数分布并进行拟合优度检验。;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;§4.1 引言 §4.2 伪随机数产生原理 §4.3 [0，1]均匀分布随机数的算法 §4.4 其他分布随机数的产生 §4.5 正态分布随机数的产生 §4.6 MATLAB统计库中的随机数发生器 §4.7 随机数的检验 §4.8 案例分析;算法要求;为了达到快速的要求，一般采用递推公式 ;乘同余法; 例4.3.1 历史上比较有名的称为“菲波那西”数列为加同余法 的特例。 ? ;我们知道对于一个来自均匀分布的随机序列，应该满足独立性、均匀性等统计特性，但伪随机数往往有一些缺陷，例如 (4.3.7) 序列到一定长度后，又开始重复下面的序列，这称为周期性是一种明显的规律，与随机性矛盾。通常我们只能选用一个周期内的序列作为我们的伪随机数。因此研究一种算法，使得其产生的随机序列的周期尽可能长，我们可以通过调节（4.3.1）的参数来实现。 因此如何来获得一个周期比较长的序列，就成了我们研究的一个内容：有关伪随机数序列的周期有如下的一些结论： ;定理 4.3.1 混合同余法产生序列达最大周期 M 的充要条件： （1） b 与 M 互素 （2） 对于 M 的任意素因子 p，有 （3）?如果 4 是 M 的因子，则 显然乘同余法产生的序列达不到周期 M（不满足（1））。当 取 （k为任意整数）时，因为 M 只有一个素因子2， 且4是 M 的因子，则由条件（2）、（3）有 ， 从而混合同余发生器达到最大周期的算法为：;其中c，d为任意整数。混合同余发生器是否达到最大周期M与初始值无关。 ;利用这些性质可得到以下定理。 定理4.3.2 对乘同余发生器，若 ，则使 成立得最小正整数 V 就是此发生器得周期。 ;从算法上我们知道公式是递推的，因此一般的随机发生器