第5章特征值和特征向量.pptVIP

第五章 矩阵的特征值和特值向量; 如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非零解, 若记?为Ax=0的非零解, 则有; 定义5.2 设A是n阶方阵, ?是参数, 则行列式 ;的特征值和特征向量.;所以k?1(k≠0)是属于?1=?2=1的全部特征向量.;的特征值和特征向量.;所以属于?1=?2=1的全部特征向量为 K1?1+k2?2 (k1,k2 不同时为0); 设方阵A可逆, 且λ是A的特征值, 证明1/λ是A-1的特征值.; 解 由于;二. 特征值和特征向量的性质; 定理5.2 设?1, ?2,…, ?s是方阵A 的互异特征值, ?1, ?2,…, ?s是分别属于它们的特征向量, 那么?1, ?2,…, ?s线性无关.;所以有;例4; 对A进行运算 P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B的相似变换矩阵. ; 定理5.4 相似矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相同的特征值.;二. 与对角矩阵相似的条件;即; 可见, 前面的分析不但证明了定理5.5, 还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵?的求法.;取相似变换矩阵P=(?1, ?2, ?3)=; 解 由于; 推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值, 则A与对角矩阵相似.; 例5 设; 所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:;则有; 定理5.6 设?0是n阶矩阵A的k重特征值, 则属于?0的线性无关的特征向量的个数不大于k.; AP=(?0?1, ?0?2,…, ?0?t, A?t+1, A?t+2,…, A?n); 所以, A与B有相同的特征多项式, 即;§3 实对称矩阵的相似对角化; 定理5.7 实对称矩阵的特征值都是实数.; 定理5.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.; 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵; 记Q1=(?1, ?2,…, ?n) , 则Q1为正交矩阵, 且有;则有; 三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法;例6 设;对λ1=λ2=-1, 由于;对λ3=11, 由于;注意:方程组x1+x2+2x3=0的基础解系可直接取为:;;习题五 第117页