第5章特征值估计与表示.pptVIP

第五章 特征值估计及极性 ;§5.1特征值的估计 ;3.引理1：设B?Cn×n，y?Cn为单位列向量，则;4. 定理5.2：设A?Cn×n，则A的任一特征值? 满足 (1) |?|?||A||m? (2) |Re(?)|?0.5||A+AH||m? (3) |Im(?)|? 0.5||A－AH||m?。 证明：设A属于?的单位特征向量为y，则有Ay=? y，即 yHAy=? yHy=?，因此;例：估计矩阵 特征值的上界。;6. 定义5.1 设A=(aij)?Cn×n,记Rr=?s?r|ars|,?r=1,…,n，如果|arr|＞Rr (r=1, 2, … , n)，则称矩阵A按行严格对角占优；如果|arr|?Rr (r=1，…，n)，且有l?ro?n，使得|aroro|Rro成立，则称矩阵A按行(弱)对角占优。 7. 定义5.2 设A?Cn×n，如果AT按行严格对角占优，则称A按列严格对角占优；如果AT按行(弱)对角占优、则称A按列(弱)对角占优。 ;二、特征值的包含区域;3.定理5.7 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数．特征值相同时也重复计数)． 证明思路：考虑由A的对角线元素构成的矩阵D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵 B(u)=(1-u)D+uA 则其特征值变化连续依赖于参数u，D的盖尔圆连续变化成为A的盖尔圆。;例：讨论矩阵 的特征值的分布。;考虑满秩对角阵;隔离矩阵特征值原则;例: 隔离矩阵A= 的特征值． ;定理5.11：设矩阵A=(aij)?Cn×n的， 0?α?1，λ是A的任一个特征值，则存在i使得;§5.2 广义特征值问题 ;因此，当 B=GGT 正定时有正交矩阵P，使得;二、特征向量的共轭性;§5.3 对称矩阵特征值的极性;性质3 x?L(x0)( x0?0)时，R(x)是一常数． 性质4 R(x)的最大值和最小值存在，且能够在单位球面S={x|x?Rn,||x||2=1}上达到． 证：S是闭集，在S上R(x)=xTAx连续，所以必有x1，x2?S，使得 minx?SR(x)=R(x1) maxx?SR(x)=R(x2) 任取0?y?Rn，令y0=y/||y||2，则y0?S，根据性质3，有R(y)=R(y0)，从而R(x1)?R(y)?R(x2)。;实对称矩阵A的特征值(都是实数)按其大小升序排列：?1??2?…??n，对应的标准正交特征向量系设为 P = [p1，…，pn]，则有 定理：设A为实对称矩阵，则minx?SR(x)=?1，maxx?SR(x)=?n 证：任取x?S，则x=Pc, ||c||=1, Ax=APc=P?c? R(x)=xTAx=cT?c??1?R(x)??n，Api=?ipi?R(pi)=?i。;推论1：在S上p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极大点，即R(p1)=?1，R(pn)=?n 推论2 若?1=…=?k (1?k?n)．则在||x||2=l上R(x)的所有极小点为[p1，…，pk]?，||?||2=1。 定理：设x?L(pr，…，ps) ， 1?r?s?n ，则有minxR(x)=?r，maxxR(x)=?s Courant-Fischer定理: 设实对称矩阵A的特征值按升序排列，则A的第k个特征值 其中Vk是Rn的任意—个k维子空间，1＜k＜n。;Courant-Fischer定理的证明;令Vk=L(p1,…,pk)，取x =[pk,…,pn]??Vk满足||x||2=l，则有xTAx??k，即 max{xTAx|x?Vk, || x||2=1}??k 于是;二、广义特征值的极小极大原理;定理：设Vk是Rn的任意一个k维子空间，则广义特征值问题Ax=?Bx的第k个特征值和第n-k+1个特征值具有下列的极小极大性质 推论1 设Vk是Rn的任意一个k维子空间，则实对称矩阵A的第k个特征值和第n-k+1个特征值具有极性质;推论2 设Vn-k+1是Rn的任意一个n-k+1维子空间，则;三.矩阵奇异值的极小极大性质