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第5章特征值的估计与表示
引理5.1：设A?Cn×n，y?Cn为单位列向量，则; 定理5.1：设A?Cn×n，B= （A+AH ）, C= （A-AH ），则A的任一特征值? 满足
(1) |?|?||A||m?
(2) |Re(?)|?||B||m?
(3) |Im(?)|? ||C||m?
证明：设A属于?的单位特征向量为y，则有Ay=? y，即 yHAy=? yHy=?，因此;推论 Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数．;例：估计矩阵 特征值的上界。;定理（Schur不等式）：设A=(aij)?Cn×n 的特征值为
，则
且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。;定义 每行每列只有一个元素是1,其余
元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).;Evaluation only.
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Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;5.2 特征值的包含区域;定理5.5 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，??果它是由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数．特征值相同时也重复计数)．
证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的
对角矩阵，即D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵
A(u)=D+uB
则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝
所著教材矩阵理论。;例：讨论矩阵 的特征值的分布。;则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有
将Ri =?j?i|aij|改作ri=?j?i(|aij|?i/?j) (i=l，…，n) ，则两
个盖尔圆定理仍然成立，其中?i 都是正数。;隔离矩阵特征值原则;例: 隔离矩阵A= 的特征值．
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