第6章二次型习题课.pptVIP

线性代数习题讲解;第六章 二次型;二次型;1. 二次型及其矩阵表示 ;称为 的标准形或法式.;;4.化二次型为标准型方法和步骤 ;步骤: 第一步 写出二次型 所对应的实对称矩阵 ； 第二步 求出 的所有特征值； 第三步 对 的每一特征值求出对应的特征向量，把对应于特征单根的特征向量规范化，对应于特征重根的特征向量正交化、规范化； 第四步 以全体正交规范化向量为列向量构成正交矩阵 ，得正交变换 ； 第五步 写出标准形 ， 其中 为 的特征值，其顺序应和 中的列特征向量顺序相对应. 以上步骤与把实对称矩阵化为对角阵的步骤基本一致.;(2) 用配方法化二次型为标准形 这种方法是将二次型的各项归并成完全平方项，即不含交叉项，再对这些平方项引入新变量以达到二次型成为关于新变量的平方项??和.具体做法是： 如果二次型中含有某 的平方项，则先把含 的各项集中，按 配成完全平方，然后按此法对其它变量配方，直至都配成平方项；如果二次型中不含平方项，但有某个 ， 则先作一个可逆的线性变换： 使二次型出现平方项，再按上面方法配方. ;5. 惯性定理 一个二次型的标准形是不唯一的，但其所含非零项 的项数是确定的（即二次型的秩）.不仅如此，在限定 变换为实变换时，标准形中正平方项的个数是不变的 （从而负平方项的个数也是不变的）.;6. 正定二次型 设有实二次型 ，如果对任 何 都 （ ），则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的，记 作 ；如果对任何 都有 则称 为负定二次型，并称对称矩阵 是负定 的，记作 . ;判断实二次型正定的充要条件 （1) 实二次型标准形中的个系数全为正； （2) 实二次型的矩阵的特征值全为正； （3) 实二次型的矩阵的各阶顺序主子式全 大于零. 至于 的负定性可通过 的正定性来判断.;注 判断一实对称矩阵的正定性可用定义也可用充要 条件若是一具体的实对称矩阵一般用顺序主子式判断 相对方便些. 另要强调的是,我们说是正定矩阵是在为实对称矩阵 的大前提下讲的,离开了这一点就会犯下列错误: 各阶顺序主子式大于0的矩阵为正定矩阵； 特征值全大于0 的矩阵为正定矩阵； 对任意 ,使 的矩阵为正定矩阵.;二、作业讲解;(3) ;2. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：;取;3. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：;当;4. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形：;取;5. 二次型;取;6. 用配方法化;注 用配方法化二次型为标准形所用的线性变换只是可逆的，这实际上是对二次型作了合同变换.而特征向量正交、规范化所得的变换是正交变换.由于配方的方法不同，因此所作的合同变换是不唯一的，自然所得到的标准形也不唯一. ;7. 判别下列二次型的正定性： (1);(2);8. 二次型;9. 已知;10. 设;三、典型例题介绍;从而得特征值;将正交向量组单位化，得正交矩阵;于是所求正交变换为;例2 判别二次型;例3 判别二次型;例4 设;（充分性）用两种方法证明：;方法2 (反证法) 若