第6章特征中与特征向量.pptVIP

《线性代数与空间解析几何》 ;特征向量与特征向量 相似矩阵 矩阵的相似对角化; 在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵的计算等, 都会遇到这样的问题：;设;6.1 特征值与特征向量;设A是n阶方阵,若存在数 ? 及非零 列向量X, 使得;;求方阵A的特征向量:;;;由;对 ,解方程组;得A的关于特征值-1和5的特征子空间为：;1.特征值的性质;只能出现在;则;若;2.特征向量的性质;设m-1个特征值时结论成立, 考虑m的情形.; k1(?1-?m)X1+…+km-1(?m-1-?m)Xm-1= 0 由归纳假设 X1,X2,…,Xm-1线性无关. 所以 ki (?i -?m)=0， i=1,2,…,m-1 由已知?i ??m, i=1,2,…,m-1, 得 ki =0, i=1,2,…,m-1, 代入(1)式, 有 kmXm= 0,又Xm?0, 所以 km= 0. 故 X1, X2,…,Xm线性无关. ;设 ?1,?2, …, ?s的是A的s个互异的;6.1.3 实对称阵的特征值与特征向量;?1?1T?2 = (?1?1 ) T ?2= (A?1 )T?2 =?1TAT?2 =?1T(A?2) = ??T(?2 ?2)= ?2?1T ?2 ?(?1 -?2)?1T?2 = 0 ? ?1T ?2 = 0. ;;本节主要内容;设A,B是两个n阶方阵,如果存在 可逆矩阵T, 使;即相似关系满足: ;2 相似矩阵的特征多项式;则 是A 的n个特征值.;3 相似矩阵有5;(1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若A~B,则A-1~B-1, B*~A*,B*=T-1A*T . (2) 若A~B, 则Am ~ Bm, 其中m是正整数. (3) 若A~B, 设 f(x) 是一个一元多项式, 则 f (A)~f (B),;与;6.2.2 相似对角化的条件及方法;证;即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)=; 设T1,T2,…,Tn是n个线性无关的列向量, 满足: ATi =?iTi, i=1,2,…,n 如果令 T=(T1,T2,…,Tn) AT =A(T1,T2…,Tn) =(AT1,AT2,…,ATn) =(?1T1, ?2T2,…, ?nTn) =(T1,T2,…,Tn) diag(?1,?2, …, ?n) =Tdiag(?1, ?2, …, ?n) ;A可相似对角化.;6.2.3 几何重数与代数重数;解;设三阶方阵A 的特征值为1,-1,-1,;任意实对称阵A不仅可对角化, 而且能找到一个正交阵P, 使得P-1AP = PTAP = ? 为对角阵. 即A可正交相似对角化.;实对称矩阵可以正交相似对角化.; 不同特征值 λ1 λ2 … λs;例4 设;将;将;已知矩??A是三阶实对称阵, 它的特征 值分别是 1, 1, 2, 且属于2 的特征向量 是 ( 1, 0, 1, )T, 求A=? ;由PTAP=diag(1,1,2)可以得到A.;例6;复 习 第六章