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第7章微积分的数值计算
7.1 数值微分
7.2 数值积分
7.3 常微分方程的数值解法; 7.1 数值微分
实际问题常需计算函数的导数或积分值。但很多情况下,函数关系难以准确表示;即使能使用解析式准确表示,表示式却很复杂,不能用于实际计算。本章介绍数值计算导数或积分的实用方法。
;
7.1.1 差分和差商
根据导数的定义
其中,?x和?y分别称为自变量x和因变量y的增量,也称之为差分。可以用差分的商 作微商(导数)的近似。数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。自变量x的步长一般取定值。
首先在xi处对函数进行泰勒展开,
; 根据不同的组合方式可以得到精度不同的差分公式。以函数的一阶导数为例 :;精度为O(?X2)的高阶中心差分算法;7.1.2 数值微分的实现
在MATLAB中,没有直接提供求数值导数的函数,只有计算向前差分的函数diff???梯度函数gradient。
diff调用格式为:
Dy=diff(Y):计算向量Y的向前差分,并把结果赋值给向量Dy
Dy(i)=Y(i+1)-Y(i),i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少
Dy=diff(Y,n):计算向量Y的n阶向前差分。例如,
diff(Y,2)=diff(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)= Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i) ,
i=1,2 ……n-2。
DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶差分,dim=1时(缺省状态),按列计算差分;dim=2,按行计算差分。; A=pascal(4)
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
B=diff(A)
B =
0 1 2 3
0 1 3 6
0 1 4 10
;7.1.3 近似梯度函数gradient的调用格式为; X=[1 3 5 2 4];
Y= gradient(X)
Y =
2.0000 2.0000 -0.5000 -0.5000 2.0000
Y=gradient(X,2)
Y=
1.0000 1.0000 -0.2500 -0.2500 1.0000
即
两边用前向和后向差分,中间用中心差分
;7.1.4 拉普拉斯算子4*del2; 4*del2(U)
ans =
4 4 4 4
4 4 4 4
4 4 4 4
;7.2 数值积分
7.2.1 数值积分基本原理
我们知道,定积分是求和式的极限,即 。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知,定积分的基本分析方法是四步,即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量(整块曲边梯形面积)分成若干分量(小曲边梯形面积);近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表;求和就是把分量加起来得到总近似值;最后取极限就得到积分精确值。 ;把区间[a,b]分割成n等分,
像这样取定步长算积分的方法,称为定步长积分法法。
常见的低阶求积分公式
复化矩形公式
复化的梯形公式
复化的辛普森(Simpson)公式
;辛普森公式的几何意义 ;7.2.2 变步长积分法
计算积分,可以采取逐步缩小步长h的办法。即先任取步长h进行计算,然后取较小步长 h’ 进行计算,如果两次计算结果相差较大,则取更小步长进行计算,如此下去,直到相邻两次计算结果相差不大为止,取最小步长算出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。
利用两种步长计算积分时,通常取h’=h/2 。而每次改变步长后,只需计算新增节点处的函数值,将它们的和乘新步长 。
;MATLAB常用的数值积分函数; 7.2.3 一元函数的数值积分举例求定积分;3. 用trapz函数实现复化梯形法求积;4. 用MATLAB函数求定积分;7.2.4 矢量积分;7.2.5 二重定积分的数值求解
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