第7章微积分的数值计算.pptVIP

7.1 数值微分 7.2 数值积分 7.3 常微分方程的数值解法; 7.1 数值微分 实际问题常需计算函数的导数或积分值。但很多情况下，函数关系难以准确表示；即使能使用解析式准确表示，表示式却很复杂，不能用于实际计算。本章介绍数值计算导数或积分的实用方法。 ; 7.1.1 差分和差商 根据导数的定义 其中，?x和?y分别称为自变量x和因变量y的增量，也称之为差分。可以用差分的商 作微商（导数）的近似。数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。自变量x的步长一般取定值。 首先在xi处对函数进行泰勒展开， ; 根据不同的组合方式可以得到精度不同的差分公式。以函数的一阶导数为例 ：;精度为O(?X2)的高阶中心差分算法;7.1.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff???梯度函数gradient。 diff调用格式为： Dy=diff(Y)：计算向量Y的向前差分，并把结果赋值给向量Dy Dy(i)=Y(i+1)-Y(i)，i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少 Dy=diff(Y,n)：计算向量Y的n阶向前差分。例如， diff(Y,2)=diff(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)= Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i) ， i=1,2 ……n-2。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。; A=pascal(4) A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 B=diff(A) B = 0 1 2 3 0 1 3 6 0 1 4 10 ;7.1.3 近似梯度函数gradient的调用格式为; X=[1 3 5 2 4]; Y= gradient(X) Y = 2.0000 2.0000 -0.5000 -0.5000 2.0000 Y=gradient(X,2) Y= 1.0000 1.0000 -0.2500 -0.2500 1.0000 即 两边用前向和后向差分，中间用中心差分 ;7.1.4 拉普拉斯算子4*del2; 4*del2(U) ans = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ;7.2 数值积分 7.2.1 数值积分基本原理 我们知道，定积分是求和式的极限，即 。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。 ;把区间［a，b］分割成n等分， 像这样取定步长算积分的方法，称为定步长积分法法。 常见的低阶求积分公式 复化矩形公式 复化的梯形公式 复化的辛普森（Simpson）公式 ;辛普森公式的几何意义 ;7.2.2 变步长积分法 计算积分，可以采取逐步缩小步长h的办法。即先任取步长h进行计算，然后取较小步长 h’ 进行计算，如果两次计算结果相差较大，则取更小步长进行计算，如此下去，直到相邻两次计算结果相差不大为止，取最小步长算出的结果作为积分值。这种方法称为变步长积分法。 利用两种步长计算积分时，通常取h’=h/2 。而每次改变步长后，只需计算新增节点处的函数值，将它们的和乘新步长 。 ;MATLAB常用的数值积分函数;  7.2.3 一元函数的数值积分举例求定积分;3. 用trapz函数实现复化梯形法求积;4. 用MATLAB函数求定积分;7.2.4 矢量积分;7.2.5 二重定积分的数值求解