第7节-二次型的正定性.pptVIP

二次型的正定性;§5.7 二次型的正定性 一、正负定的定义 二次型的另一个重要问题是分类问题。 对于标准形式的有心二次曲线椭圆;，其值恒大于0，我们称其为恒正二次型 或正定二次型。而后者对于不全为零的;定义5.8 设n元二次型;其它情况称二次型为不定二次型 A称不定矩阵。所谓不定指存在 X≠0有f0,又存在X≠0有f0;设二次型;反之，如;总之，二次型经可逆线性变换后 正定性是不变的。又因标准形的 正定性一目了然，故可利用标准 形的正定性来判断原二次型的正 定性。显然，对于标准形;定理5.10 ;推论1 ;例5.7.1 判断二次型;解方法二：用配方法化二次型为标准形;与被判别正定性类似，关于负定性 判别有如下结论：;利用化标准形的方法判正定性是 一个间接的方法，一般还比较麻 烦。下面我们介绍一个直接利用 矩阵的顺序主子式判其正定性的 方法。按自然顺序取A的前k行k 列组成的k阶行列式;定理5.11n阶实对称矩阵A正定;n阶实对称矩阵A负定;例5.7.2 判断下列二次型的正定性。;2）f的矩阵为;例5.7.2 ;例5.7.3证明A正定;例5.7.4实二次型A正定的充分必要条件为 ：存在可逆矩阵B使得：A=BTB 证明：必要性：因A正定，故存在可逆p使 得：pTAp=I上式左乘（pT）-1 ,右乘p-1得：;因B可逆，故对;注：（1）请同学们将上述关于矩阵正负定的判定总结一下 （2）大家可否按不同的体系对上述关于矩阵正负定的判定进行证明，以加强推证能力的训练。 （3）关于正负定的运算，应用也可总结一下。