第7讲正则坐标与主振型.pptVIP

;*;复习：多自由度系统固有频率和主振型;对应于ωi可以求得A(i)，它满足;在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。 ;例1 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为;解方程得到;可得主振型;主坐标和正则坐标; 返回首页;表明，对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。 ;可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。 对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。 因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。 ;以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即;使MP由对角阵变换为单位阵 ;以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即;在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。 由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。;2. 正则坐标 用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设 ;例5 试求例1中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。;于是，可得各阶正则振型;由刚度矩阵;固有频率相等的情况;;解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1, x2 。 写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为 ;;是该系统的一组正交主振型