第8章一般壳体问题的有限元法.pptVIP

壳体实质上是从平板演变而来的，它的中面是一个曲面。在分析壳中应力时，虽然平板的基本假定同样有效，但是壳体的变形有着很大程度的不同，它除了弯曲变形外还存在中面变形。因而，壳中内力包括有弯曲内力和中面内力。 应用有限单元法分析壳体结构时，广泛地采用了平面单元和曲面的单元这两类壳体单元。本章首先介绍平面单元，它是平面应力问题和平板弯曲问题的组合；这种单元虽然简单，但是相当有效。然后讨论一个考虑横向剪切影响的曲面单元，称为八结点40个自由度的一般壳单元，可以适用于厚壳和薄壳。; 将壳体曲面划分为有限个单元，它们都是曲面单元。但是在单元细分时，用平面单元组成的一个单向或双向折板来近似壳体的几何形状将会得到良好的结果。通常对于任意形状的壳体，采用三角形单元比较方便，如图8-1所示。如果在壳体上容易找到同一平面上的四个点，可以采用平面四边形单元。例如具有正交边界的柱面壳体，如图8-2所示。; 壳体平面单元的应力状态是由平面应力和弯曲应力的叠加而成的，因此在构造壳体平面单元时，只要将第二章和第七章所讨论的相应单元进行简单的组合就可以了。同样，前述二章所导出的刚度矩阵可作为建立壳体平面单元刚度矩阵的基础。 现在把平面单元的计算步骤归纳如下 1. 划分单元，选定整体坐标系 oxyz ，定出节点在整体坐标系中的坐标值。 2. 对于各个单元利用节点坐标值，建立一个局部坐标系;式中 是矢量12的长度。取单元的外法线方向作为 轴的正方向，于是它的单位矢量;容易看出，矢量12和13的矢性积的模等于三角形面积Δ的一倍，即|12×13|=2Δ。最后，按右手定则可以决定y轴的正方向,它的单位矢量e2是 e2 = e3 ×e1 (8-3) 利用上述方法确定的局部坐标系，三角形单元123是在 平面内，它的三个角点的局部坐标值是很容易确定的。; 3.对于各个单元，确立在局部坐标系 中的结点载荷列阵; 显然，平面单元在局部坐标系中，结点i有五个广义位移：即; 容易看出，把以上结点位移和结点力变换到整体坐标中后，他的结点位移和结点力列阵具有如下形式; 于是，壳体单元e在局部坐标下的结点位移列阵是; 4.建立局部坐标系中的单元刚度矩阵 ，从而求出整体坐标系中的单元刚度矩阵。如果将单元刚度矩阵 和 对应于单元节点划分为n×n个子矩阵，每个子矩阵都是6×6的，于是 的子矩阵有如下形式;图8-5 三角形壳体单元刚度矩阵用平面应力和平板弯曲刚度矩阵的构成方法; 单元e中任意结点i的平衡方程，在两个坐标系中分别为; 将公式(g)中的第一式左乘矩阵 ，并且同上式进行比较，可以得到; 5.集和单元刚度矩阵及等效结点力。线作简单求和; 6.修改整体刚度矩阵，然后求解平衡方程; 7．计算应力。首先是按照公式 求出局部坐标系中的结点位移，再按第二章中所给出的公式计算应力 、 和; 对于一个壳体结构，如果采用上节所述的平面单元，将会引起几何上的离散误差。人们希望采用曲面单元来描述壳体的真正几何形状，使之用不太多的单元来替代复杂形状的壳体，并得到具有一定精度的解答。另外，在薄壳理论中都是用中面位移来表示中面转动。正如在第七章中所述，这将要求在单元交界面上有横向位移及其一阶导数的连续性，于是增加了选择位移模式的困难。如果考虑横向剪切变形的影响就可以认为中面转动是独立变量而不依赖于位移的一阶导数。因此，只要利用单元交界面上位移函数的连续性就可以了，并不要求其一阶导数的连续性。 现在我们来论述一个考虑横向剪切影响的曲面单元，称为八结点四十个自由度的一般壳体单元，如图8-6所示。; 在图8-6中所示的壳单元，象空间等参数单元一样引进一个自然坐标系 。命 为壳体中面上的曲线坐标；对应于 的表面称为顶面（或上表面），对应于 的表面称为底面（或下表面）。在单元的中面上选取八个点称为结点，过各结点i(i=1,2,…,8)作中面的法线，交顶面和底面的点称为结点i的对点。结点i相对应的对点，它的整