第五讲-显式差分和隐式差分.pptxVIP

回顾;回顾;稳定性（stability）：如果偏微分方程的严格解析解有界，差分格式给出的解也有界，称该差分格式是稳定的；如果差分格式给出的解是无界的，则称该差分格式是不稳定的。;收敛性（convergence）：如果当时间和空间步长趋于零时，FDE解趋于PDE解，称该差分格式是收敛的。 如果 则称该差分格式是收敛的。;;(i,j);组建A和B矩阵，求解线性方程组得到X;%Matlab 2D clear; clc; figure(color,w); a=zeros(135,135); for i=1:135 a(i,i)=1; end; for i=1:7 a(15*i+1,15*i+2)=-0.25; a(15*i+1,15*i+16)=-0.25; a(15*i+1,15*i-14)=-0.25; end for i=1:7 a(15*i+15,15*i+14)=-0.25; a(15*i+15,15*i+30)=-0.25; a(15*i+15,15*i)=-0.25; End a(1,2)=-0.25; a(1,16)=-0.25; a(121,122)=-0.25;;2.5 应用实例;盆地效应;Cui, 2013;Cui, 2013;Cui, 2013;Cui, 2013;总结： 1、有限差分方法给出的数值解的精度取决于所用的差分形式（向 前、向后、中心）。 2、偏微分方程的显式有限差分格式通常是有条件稳定的，为了保 证得到精确的数值解，最关键的是需要根据稳定性条件选取正确的 空间和时间步长。 ;显式与隐式差分格式;显式差分格式（explicit difference scheme） 差分方法中可逐层逐点分别求解的格式。 特点 1. 不联立解方程； 2.时间步长和空间步长的选择受限制。通常要求时间步长足够小。 ;例子：;显示差分格式示意图;2. 隐式差分格式：;隐式有限差分格式;Crank-Nicolson 隐式差分格式;Crank-Nicolson 隐式差分格式;Forward-Time Central-Space method;3;A = sparse(nx,nx); for i=2:nx-1 A(i,i-1) = -s; A(i,i ) = (1+2*s); A(i,i+1) = -s; end;3;A = sparse(nx,nx); for i=2:nx-1 A(i,i-1) = -s; A(i,i ) = (2+2*s); A(i,i+1) = -s; end;例子：牛顿冷却定律：温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量 逐渐冷却时所遵循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时 间从单位面积散失的热量与温度差成正比。;利用向前差分格式：;当dt=1.25，tau=0.7时，显式差分格式不稳定，结果振荡； 隐式差分格式稳定，结果不精确。;当dt=1，tau=0.7时，显式差分格式不稳定，结果振荡； 隐式差分格式稳定，结果不精确。;当dt=0.5，tau=0.7时，显式差分格式稳定， 隐式差分格式稳定，结果不精确，两者都不精确。;当dt=0.1，tau=0.7时，显式差分格式稳定； 隐式差分格式稳定；结果都比较精确。;当dt=0.01，tau=0.7时，显式差分格式稳定； 隐式差分格式稳定；结果都相当精确。;当dt和tau都大于零时，该式无条件满足，因此混合差分格式无条件稳定。; xt(nt+1)=nt*dt; plot(xt,T_e,b.-, xt,T_i,g.-, xt,T_m,m.-, xt,T_a,r.-,);hold on % set(gca,DataAspectRatio,[(max(xt)-min(xt))/(max(T_e)-min(T_e))/3 1 1]); xlabel(Time (s),Fontname,times new roman,FontSize,14); ylabel(Temperature,Fontname,times new roman,FontSize,14); title(dt=0.01 tau=0.7); ;混合差分格式精度最高！;混合差分格式精度最高！;混合差分格式精度最高！;混合差分格式精度最高！;混合差分格式精度最高！;显式差分格式;;%Matlab 2D clear; clc; figure(color,w); lx=17;ly=11; % v1=zeros(ly,lx); % for j=2:lx-1 v1(ly,j)=100; end % v2=v1;maxt=1;t=0; k=0;;总结： 显式格式算法简单、