第四章—解AXb的迭代法.pptVIP

第四章 解线性代数方程组的迭代法; 求解线性方程组 Ax = y，可用直接法。当 A 为稀疏矩阵时，直接法将破坏矩阵 A 的稀疏性。;迭代法： 构造一个向量序列 {x(k)} ，使其收敛到某个极限向量 x*，即 则 x* 就是线性方程组的解。; 4.1 雅可比迭代 迭代格式 线性方程组 Ax = y，即 ;若aii≠0, i = 1,2,…,n ,（6.1）可变为;写成矩阵形式; 雅可比迭代矩阵 记;如果通过(4.2)构造的迭代序列{x(k)}收敛，即;迭代格式的收敛性;(4.3)-(4.4)得;所以方程组 (I-M)x = f 有惟一解x*,满足(I-M)x* = f ，即;例4.1 设系数矩阵为; 实际计算中，M的特征值难于计算，因此 也难于判断。由于 可用 作为判断收敛的条件。;证明 ;分别把（c）和（d）代入（e）即得证（a）,（b）。 注： 是 收敛的充分条件，但不是必要条件。 ??为 收敛，不能推出 。例如;定义4.1 如果A的元素满足;证明 由线性代数知识知，det(A)≠0 ? Ax=0只有零解。;当方程组的系数矩阵为严格对角占优时，关于雅可比迭代我们有下面的定理。;方法二：反证法。;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.; 雅可比迭代算法;4.2 高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代;令B=L+U，其中; 高斯-塞德尔迭代的收敛性;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;定理 4.5 当系数矩阵A为正定矩阵，高斯-塞德尔迭代收敛。;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;例4.2 设系数矩阵为;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;4.3 超松弛迭代;其中，参数ω0称为松弛因子。将(4.9)变形为; 实际用计算机计算时，采用(4.9)的分量形式，即; 松弛迭代的收敛性; 如果松弛迭代收敛，由定理4.1知， 即Sω的所有特征值的绝对值均小于1。由特征方程的性质得 由（1）和（2）两式得 ;定理 4.7 如果系数矩阵A为严格对角占优，当松弛因子 时，则松弛迭代收敛。; 逆矩阵的计算;化为n个线性方程组： 用直接法或迭代法算出： 也就完成了逆矩阵 的计算。