线代课件§1向量的内积.长度和正交性.pptVIP

§1 向量的内积、长度及正交性 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 思考题 思考题解答 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 1.定义1 内积 说明 　　　1. 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． (Inner product) 2.内积的运算性质 1.定义2 长度 范数 向量的长度具有下述性质： (norm) 单位向量 2. 解 夹角 1、正交的概念 ２、正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． (orthogonal) 证明 ３、 正交向量组的性质 定理1 4、 正交单位向量组 每个向量都是单位向量的正交向量组. 5、 向量空间的正交基 例1 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解 6、 规范 正交基 例如 定义 (标准) 同理可知 7、 求规范正交基的方法 下面介绍施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ） (2) 单位化 , 取 (1) 正交化 , 取 ， 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 例 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取 定义4 定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都 是单位向量且两两正交． 例５ 判别下列矩阵是否为正交阵． 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 例５ 判别下列矩阵是否为正交阵． 所以它是正交矩阵． 由于 正交矩阵的性质： 定义 若 P 为正交阵，则线性变换 y=P x称为正 交变换． 性质 正交变换保持向量的长度不变． 证明