线性代数 第5章二次型.pptVIP

第一节 第二节 第三节 定理2 推论 定理 * * * * * * 华南农业大学理学院应用数学系 多媒体教学演示 第一章 矩阵与线性方程 第三章 向量的内积与正交矩真 第五章 二次型 第七章 Matlab 软件的应用 第二章 向量与线性方程组 第六章 线性空间与线性变换 第四章 矩阵的特征与特征向量 第五章 二次型 §1 二次型的标准形 §3 正定二次型 §2 二次型的规范形 二次型的标准形 二次型和它的矩阵 定义 叫做二次型。 二次型 f 对称矩阵 A 对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩 显然A是对称矩阵， 这表明对称矩阵A是二次型 的矩阵。 只含有平方项的二次型叫做标准形 解 （秩不变） 二次型的标准形 定义 如果x的二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型 就称此二次型为原来二次型的标准形。 定理1 对于任意可逆矩阵C, 令 定义 设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得 则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为 合同变换矩阵. 如果 A 是对称 矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B). 定理2 任给二次型 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵 存在正交矩阵P，使得 作正交变换 总有正交变换x=Py 使 f 化为标准形 其中 为A的所有特征值. 定理: 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 用正交变换化二次型为标准型 正交变换 对称矩阵A 正交矩阵P 用正交变换化二次型为标准型的具体步骤： 2.求矩阵A的特征方程 3.求特征方程的根，即特征值 4. 对每个特征值 解方程组 得到n个特征向量 5. 对这个特征向量正交化和单位化，得到 6. 便得到标准型 1. 求二次型的矩阵A 得特征值 可求得的单位特征向量顺次为 试用正交变换化二次型 为标准形 解 矩阵A的特征多项式为 特征值 正交化 单位化 作正交变换 代入f ，得到标准型 例 求下列平面图形所围图形的面积： 解 A 的特征值为 经过正交变换 曲线可化为标准形 二次型的规范形 例 对二次型 作不同的变换化为 标准型。 解 作变换 若取可逆的线性变换 非零项的个数相同，正项的个数也相同 定理5.3 二次型 可通过可逆的线性变换 化为标准型: 且 例 试指出二次型 经可逆 线性变换后的标准型中非零项的数目。 惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称为惯性指标） f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 正定二次型 正定二次型 定义： 判定二次型的正定性 定理1 推论