线性代数2chapter3n维向量组和其线性相关性.pptVIP

* Chapter 3(1) n维向量组及其线性相关性 教学要求： 1. 理解n维向量的概念; 2. 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并 会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论; 3. 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概 念，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩; 4. 了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵 秩的关系. 1. n维向量及其表示法 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意: (1) 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量; (2) 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算; (3) 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量. 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 2. 矩阵用行(列)向量组表示 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 1. 线性组合 考察方程组 看成向量有 定义1: 线性表示, 且 表示方式唯一. Solution. 结论1. 任一向量可由同维的基本单位向量组线性表示, 其表出系数依次为该向量的各个分量. 结论2. 零向量可由任一向量组线性表示. 结论3. 向量组中任一向量可由该向量组线性表示. 结论4. 若? 可由向量组 ? 的部分向量线性表示, 则? 可 由向量组 ? 线性表示. 2. 线性相关与线性无关 定义2: 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 注意： 定理1. 证： 结论1. 一个向量线性相关????. 结论2. 两个向量线性相关?对应分量成比例. 结论3. 含有零向量的向量组线性相关. ex2. 证明n个n维基本单位向量是线性无关的. Proof. Proof. 另解 所以结论成立. 定义3. 向量组A与B等价具有反身性，对称性和传递性. 定理2. 证明从略. 结论1. 结论2. 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 结论3. n?k个n维向量必线性相关. 考察向量组 定义4. 结论1. 最大线性无关组不唯一. 结论2. 向量组与任一个最大线性无关组等价. 结论3. 向量组的任两个最大线性无关组等价. 结论4. 一个向量组中, 任意两个最大无关组所含向量 的个数相同. 定义5. 向量组T 中最大线性无关组所含向量的个数叫做 向量组T 的秩. 记为rank(T). 如果向量组T 只含零向量, 规定rank(T)??. 注意： (1) rank(T)是唯一的. (2) 等价的向量组有相同的秩. 定理3. 证明从略. 求向量组的秩与最大无关组的方法: 将向量组的每一个向量写成列向量得一矩阵, 用初等 行变换求出其阶梯形矩阵, 矩阵的秩即为向量组的秩. 由观察法可得出阶梯形矩阵中的最大无关组, 则在原 矩阵中相应的列构成原向量组的最大无关组. Solution.