刘觉平群论第一次作业.docVIP

The first assignment for group theory By Zhou Guo Quan and Chen Jun Long Problem 1 The symmetries of a regular quadrilateral (i.e. a square) is the set of symmetry operation that make a square invariant in the space. Prove that the symmetries of a square form a group called , give the product table of its symmetries. 解：考虑一个正方形，有如下一些操作保持其不变： ：绕通过中心并垂直于正方形所在平面的轴旋转 ：绕通过中心并垂直于正方形所在平面的轴旋转 ：绕通过中心并垂直于正方形所在平面的轴旋转 ：绕通过中心并垂直于正方形所在平面的轴旋转 ：绕连接AB中点与CD中点的轴旋转 ：绕连接AC的轴旋转 ：绕连接AD中点与BC中点的轴旋转 ：绕连接BD的轴旋转 乘法表如下： 由乘法表易得其满足封闭性，结合律，存在单位元，任意元素存在逆元，故操作的全体构成群。 Problem 2 Prove the whole set of permutation operation of three symbols forms a group ，and prove it is isomorphic to the group , the set of symmetries of an equilateral triangle. 解：置换群中的置换写成 ，，，，，f 由乘法表易得其满足封闭性，结合律，存在单位元，任意元素存在逆元，故操作的全体构成群。 与正三角形对称性群的乘法表对比，发现两个的乘法表完全一致，所以两个群同构。 Problem 3. Show that the set of non-zero complex numbers,under the usual multiplication,is a group. 证明：令 （1） 不妨设，即，即 两方程相乘可得 由可知，故有， 令可得，带入，可???，带入，可知 即，与假设矛盾。 同理可知当或或时均可得到与假设矛盾的结果 ∴ ∴ ∴封闭性得证 （2）易知， ∴结合律得证 （3）易知，且有，有 故中包含单位元 （4），令， 则有，即为的逆元 ∴是一个群。 Problem 4. Show that every subgroup of a cyclic group is cyclic. 证明：设是的子群 若，显然是循环群 当时，取中最小正方幂元 任取，由带余除法可知，存在整数和， 使得，其中 ∴ ∵，且是的子群 ∴ 又∵是中最小正方幂元 ∴ ∴ ∴也为循环群 综上所述，循环群的子群也是循环的。