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高三数学第1轮复习函数与导数

第十一节 变化率与导数、导数的计算;[主干知识梳理] 一、导数的概念 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义: 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率;;(2)几何意义: 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 . ;;二、基本初等函数的导数公式;;;4.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′= ,即y对x的导数等于 的 与 的导数的乘积.;;;;4.函数y=xcos x-sin x的导数为________. 解析 y′=(xcos x)′-(sin x)′=x′cos x+x(cos x)′ -cos x =cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 答案 -xsin x;5.(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3) (x-4)(x-5),则f′(0)=__________. 解析 f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1) (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′, ∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120. 答案 -120; [关键要点点拨] 1.函数求导的原则 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.;2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.;利用导数的定义求函数的导数 ;;;;;;导数的运算 ;; [规律方法] 求导时应注意: (1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量. (2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的导数法则,减少失误. (3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式,其导数为两层导数的积,必要时可换元处理.;;;;[典题导入] (2014·济南模拟)已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2). (1)试求m、n的值; (2)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.;;;; [互动探究] 在本例条件下,求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程. 解析 由例3知m=1,n=0. ∴f(x)=x3-12x. ∴f′(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12×1=-11, ∴当A为切点时,k=f′(1)=-9. ∴切线方程为9x+y+2=0. 当A不为切点时,设切点P(x0,f(x0)), ∴k=f′(x0)=3x-12.;;; [跟踪训练] 3.(1)(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 解析 y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3. 答案 y=4x-3;;;  (2014·上海徐汇摸底)已知函数f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作曲线y=f(x)的切线,则切线的方程为__________. 【错解】 由f(x)=x3-3x知f′(x)=3x2-3, ∴k=f′(-2)=3×4-3=9. ∴切线方程为y+2=9(x+2), ∴y=9x+16.;【错因】 上述解法中易认为P(-2,2)是曲线切线的切点,从而导致解答中缺少一种解的可能性. 【解析】 ①当P(-2,-2)为切点时, 切线方程为y=9x+16; ②当P(-2,-2)不是切点时, 设切点为(a,b),则b=a3-3a???由于y′=3x2-3, 所以切线的斜率k=3a2-3,;;【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点,此点也可能不在曲线上,所以要先判断再

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