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高三数学第1轮复习函数与导数
第十一节 变化率与导数、导数的计算;[主干知识梳理]
一、导数的概念
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率;;(2)几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 . ;;二、基本初等函数的导数公式;;;4.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′= ,即y对x的导数等于 的
与 的导数的乘积.;;;;4.函数y=xcos x-sin x的导数为________.
解析 y′=(xcos x)′-(sin x)′=x′cos x+x(cos x)′
-cos x
=cos x-xsin x-cos x
=-xsin x.
答案 -xsin x;5.(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)
(x-4)(x-5),则f′(0)=__________.
解析 f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)
(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′,
∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.
答案 -120; [关键要点点拨]
1.函数求导的原则
对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.;2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.;利用导数的定义求函数的导数 ;;;;;;导数的运算 ;; [规律方法]
求导时应注意:
(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量.
(2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的导数法则,减少失误.
(3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式,其导数为两层导数的积,必要时可换元处理.;;;;[典题导入]
(2014·济南模拟)已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2).
(1)试求m、n的值;
(2)过点A(1,t)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.;;;; [互动探究]
在本例条件下,求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程.
解析 由例3知m=1,n=0.
∴f(x)=x3-12x.
∴f′(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12×1=-11,
∴当A为切点时,k=f′(1)=-9.
∴切线方程为9x+y+2=0.
当A不为切点时,设切点P(x0,f(x0)),
∴k=f′(x0)=3x-12.;;; [跟踪训练]
3.(1)(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________.
解析 y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
答案 y=4x-3;;; (2014·上海徐汇摸底)已知函数f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作曲线y=f(x)的切线,则切线的方程为__________.
【错解】 由f(x)=x3-3x知f′(x)=3x2-3,
∴k=f′(-2)=3×4-3=9.
∴切线方程为y+2=9(x+2),
∴y=9x+16.;【错因】 上述解法中易认为P(-2,2)是曲线切线的切点,从而导致解答中缺少一种解的可能性.
【解析】 ①当P(-2,-2)为切点时,
切线方程为y=9x+16;
②当P(-2,-2)不是切点时,
设切点为(a,b),则b=a3-3a???由于y′=3x2-3,
所以切线的斜率k=3a2-3,;;【高手支招】 求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点,此点也可能不在曲线上,所以要先判断再
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