4_逻辑与证明学案.ppt

数理逻辑部分;传统逻辑由亚里士多德创立（故称亚式逻辑） ，它是从日常生活的经验出发，训练我们在生活中如何使用概念，以及如何判断和推理。其推理的主要规则是定言三段论。 数理逻辑(mathematical logic)则是近代由欧美人创立的，使用的都是抽象的数学符号和数学公式，也就是用数学的方法来研究逻辑，所以数理逻辑又叫符号逻辑（symbolic Logic）。 ;逻辑研究的内容： ——着重于推理过程是否正确； ——着重于语句之间的关系，而不是一个具体语句的内容。 例: 语句1: 所有的数学家都穿凉鞋。 语句2: 任何一个穿凉鞋的人都是代数学家。 语句3: 所有数学家都是代数学家。 从技术上来说， 逻辑并不帮助确定这些语句是否为真; 然而，如果前两个语句为真， 逻辑可以保证语句3也为真。;传统逻辑适用于日常生活中的推理； 数理逻辑则偏重演算，适用于计算机实现推理。 数理逻辑是计算机软件理论技术和硬件逻辑设计、人工智能等学科的重要理论基础。 程序＝算法＋数据 算法＝逻辑＋控制 本课程包含了数理逻辑的两个基础演算(命题演算和谓词演算)，叫作逻辑代数。;第4章 逻辑与证明;4.1 命题逻辑 ; 命题的真值：作为命题的陈述句所表达的判断结果。真值只有两种取值：真(true)或假(false)。 任何命题的真值都是唯一的。 真命题： 假命题： 判断给定句子是否为命题，一般分为两步： 首先判断它是否为陈述句，然后判断它是否有唯一真值。;【例】 判断下列句子是不是命题: 4是素数（质数）。 π是无理数。 x 大于 y。 大于2的偶数等于两个素数之和(歌德巴赫猜想)。 火星上有生物。 你能帮助我吗？ 请不要吸烟！ 这朵花真美丽啊！ 我正在说假话。 ; 解： 6)是疑问句，7)是祈使句，8)是感叹句，因而这3句都不是命题。 3) 尽管是陈述句，但x,y表示变元，它们不是确定的对象（从而导致真值不惟一），所以不是命题。 9)是一个自相矛盾的病态语句----称为悖论，我们不承认此类语句为陈述句，因而9）不是命题。 1)、2)、4)、5)这4句是命题，其中第１)句是假命题；第２)句是真命题； 第4)句和第5)句虽然目前暂时无法判断其真假, 但它们的真值是客观存在的，而且是唯一的，将来总会找到它们的真值。; 二、原子命题和复合命题 【定义】不能再分解为更简单句子的命题叫原子命题（简单命题），否则称为复合命题。 例：今天是星期一。 例：今天是星期一并且今天天晴。 原子命题中的“原子”取原子的“不可再分”之意, 它是最基本的命题, 相当于自然语言的简单陈述句。 ; 【例】 下面的命题由哪些原子命题组成: 1) 王斌贫穷但快乐。 2) 只要明天天气好, 我就去春游。 ;三、 命题及真值的符号化 1、用小写字母p, q, r, …或加下标的小写字母pi, qi, ri, …表示命题。 【示例】 p: 4是素数。 （句中的“：”读作“表示”） q: 1+1=2 r: 火星上有生物。 2、用 T 或1表示真，用 F或0表示假。 示例中 p 的真值为0，q 的真值为1，r的真值暂时还不知道。;四、逻辑常量与命题变元 逻辑常量（命题常元）---- 表示一个确定的、具体的原子命题的标识符。 逻辑常量有确定的真值, 其真值不是０就是１。 ;深入的讨论还需要引进命题变元的概念： 命题变元（逻辑变量） ---- 表示任意一个命题的标识符，以“T、F”或“1、0”为取值范围, 仍用小写字母表示。 一个命题变元若被某个确定的命题替代, 就具有确定的真值。（参考：常量与变量） ;注： 1）命题变元不是命题。（参：整型变量不 是整数。） 2） p表示命题常元还是命题变元可由上、 下文来确定。;4.1.2 逻辑联结词 由简单命题通过 “非”、“并且”、“或者”、“如果…那么…”等联结词组合可产生新命题。 但在自然语言中出现的联结词有时有二义性。因而在数理逻辑中，必须给出联结词的严格定义，并且将它们形式化。;定义;┐p的真值定义为： ┐p为真 iff p为假。（符号iff表示“当且仅当”） 命题┐p的取值（和p的关系）可以用表4.3表示。该 表