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高中数学3—1—1空间向量及其加减运算

经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念. 掌握空间向量的加法、减法运算. ;空间向量的基本概念和性质.(难点) 空间向量的加减法运算.(重点) ;空间向量的概念 ;试一试:在空间中,将所有的单位向量的起点移到同一点A,那么它们的终点构成怎样的图形? 提示 球面. ;空间向量的加减法与运算律 ;空间向量的理解 空间向量与平面向量没有本质区别,都是表示既有大小又有方向的量,具有数与形的双重性.形的特征:方向、长度、夹角等;数的属性:大小、正负、可进行运算等.空间向量的数形双重性,使形与数的转化得以实现,利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决. 空间向量和有向线段不是同一概念,有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法. 几类特殊向量 (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的,|0|=0,单位向量e的模|e|=1. ;(2)零向量不是没有方向,它的方向是任意的. (3)注意零向量的书写,必须是0这种形式. (4)两个向量不能比较大小,若两个向量的方向相同且模相等,称这两个向量为相等向量,与向量起点的选择无关. 向量的加减法法则 空间任意两个向量都是共面的,它们的加减法运算类似于平面向量的加减法,如图所示. ;注意:①首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量;②若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则这些向量的和为0. ? ; 题型一 空间向量的概念辨析;[思路探索] 可根据向量相等的两个条件来进行判断,任何一条不具备,则两向量不相等. 解析 命题①,据向量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,故①错;命题②符合两个向量相等的条件,②正确;命题③正确; 命题④,任意两个单位向量只是模相等,方向不一定相同,故④错. 答案 ②③ 规律方法 熟练掌握好空间向量的概念,零向量,单位向量,相等向量,相反向量的含义等是解决这类问题的关键. (2)判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要元素:大小与方向,两者缺一不可,相互制约. ;【变式1】;解 (1)假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来. (2)假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可. (3)假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点. ;[思路探索] 利用向量的加法、减法运算法则及加法运算律求解. ;规律方法 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简,在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法之间可相互转化,另外化简的结果要在图中标注好. ;【变式2】;审题指导 解答本题可先求出最后的结果,再在图中表示出来,也可直接利用法则,在图中画出所求向量. ;【题后反思】 利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时,一定要注意和(差)向量的方向.必要时利用空间向量可自由平移,使作图容易. ;【变式3】; 误区警示 对向量的运算法则把握不准致错; 掌握向量加减的运算法则及向量加法的交换律、结合律等基础知识,在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理,必要时也可化减为加,降低出错率.

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