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第三节 全微分 全微分的定义 可微的条件 连续、可导与可微的关系 小结、作业 3. P73 题 7 4. 设 作 业 习题8-3 1,(3)(4); 2 ;3 * 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成 其中 A , B 不依赖于? x , ? y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 在点 (x, y) 的全微分, 记作 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微. (2) 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 由微分定义 : 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: 定理2 (充分条件) 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 可微 连续 可导 ? ? ? 在多元函数中, 三者的关系如何？ 二、连续、可导与可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 TH1 TH2 可微的定义 TH1的 反例 例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例2. 计算函数 的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将 y, z 看成常数: 将 x , z 看成常数: 例 解 将 x , y 看成常数: 故 例 解 解 证 不存在. 证 （1） 令 故函数 ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 连续。 即，函数 ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 偏导数存在。 (2) ) , ( y x f 在点 ) 0 , 0 ( 不可微 . 如果考虑点 ) , ( y x P D D ￠ 沿着直线 x y = 趋近于 ) 0 , 0 ( ， 如果考虑点 ) , ( y x P D D ￠ 沿着直线 x y = 趋近于 ) 0 , 0 ( ， 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微分 函数连续 偏导数连续 偏导数存在 １．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别） 四、小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八) 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 2. 选择题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 也可写作: 当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 利用轮换对称性 , 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 ) 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 * * * * *