高等量子力学—第一章希尔伯特空间.pptVIP

第一章 希尔伯特空间;§1 矢量空间;§1-1 矢量空间的定义;加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件： ;α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。;;在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。 ;下面我们举出矢量空间的一些简单性质。 ;（2）每个矢量的逆元是唯一的。;下面，讨论几个矢量空间的例子。; 第二个例子 取数学对象为三维位形空间中由一点引出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内积空间。 ; 第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，可以把它们写成一个一列矩阵：;这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是;§1-2 正交性和模;Schwartz不等式： ;三角形不等式： ;§1-3 基矢;定理： 在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的。;仍将是线性无关的。;（1.4） ;于是我们证明了只有一个可能，即m=n.;2、基矢;由此得;而;于是得; 证明了（1）与（2）等价之后，下面按（2）、（3）、（4）、（2）的次序，分别证明前者是后者的充分条件，从而证明这四个命题是等价的。 ;由（2）到（3）：根据（2）将 分别写为;对此矢量应用（4），有;又如在四维一列矩阵中，下列四个基矢是最简单的基矢： ;§1-4 子空间;第3节;§1-5 右矢和左矢;为了系统地这样做，必须重新作一些定义。 ;并且规定，内积的运算应该满足下列四个条件： ; 我们看到，在新建的两个矢量空间中，左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，而内积的四个条件就是联系这两个空间的桥梁。 ;证明： ;证明： ; 这两条定理建立了左矢空间与右矢空间的对应关系，也就是在左矢空间中建立了与右矢空间的运算规则相协调的运算规则。至此，我们新建立的左矢空间成为一个完全确定的（即有明确加法与数乘运算规则的）矢量空间。; 现在我们有了两套数学工具可供量子力??选用，它们也是互相等价的。由于这两种数学表现形式之间的转化是明显而自然的，人们很容易从一种空间的表现形式得到另一种表现形式。 ;基矢的正交归一关系为