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椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式
及其应用
贵州省龙里中学 洪其强 (551200)
在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：
若椭圆的焦点弦所在直线的倾斜角为，、、分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长，焦距，过椭圆的焦点作一直线交椭圆于、两点，设，当取什么值时，等于椭圆的短轴长？
分析：由题意可知是椭圆的焦点弦，且，，从而，故由焦
点弦长公式及题设可得：，解得，即或。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线通过点F，且倾斜角为，又直线被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方程。
分析：由题意可设椭圆E的方程为，又椭圆E相应于F的准线为Y轴，故有 （1）， 又由焦点弦长公式??? （2）又 （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：，，，从而所求椭圆E的方程为。
例3、已知椭圆C：（），直线：被椭圆C截得的弦长为，过椭圆右焦点且斜率为的直线被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，求椭圆C的方程。
分析：由题意可知直线过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有， （1）又由焦点弦长公式得=， （2） 因=，得，（3）
又 （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：，，从而所求椭圆E的方程为。
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