概率论与数理统计PPT课件_随机变量函数的分布.ppt

* * * * 随机变量的函数的分布 在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题, 例: ☆　测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积： d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。 的分布。 ☆ 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能： 背景 一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。 随机变量的函数 随机变量 密度函数 分布函数 　若X为离散型 随机变量, 其分布律为 X x1 x2 x3 ．．．．．．． xn．．．． pk p1 p2 p3 ．．．．．．．pn．．．． 则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为 Y g( x1) g( x2) g( x3)．．．．． g (xn)．．．． pk p1 p2 p3 ．．．．． pn．．．． 如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加． 离散随机变量的函数的分布 设随机变量X的分布律为 求Y=2X2 +1的分布律． 解 例 由题设可得如下表格 X －1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.4 0.1 0.1 0.4 0.3 0.2 概率 9 3 1 3 Y=2x2+1 2 1 0 -1 x 所以，y=2x2+1的分布律为 y 1 3 9 pk 0.3 0.6 0.1 解 由题设可得如下表格 设圆半径X的分布律为 求周长及面积的分布律． 例 X 9.5 10 10.5 11 pk 0.06 0.5 0.4 0.04 22π 21π 20π 19π 周长 0.04 0.4 0.5 0.06 概率 121π 110.25π 100π 90.25π 面积 11 10.5 10 9.5 x 解 22π 21π 20π 19π 周长 0.04 0.4 0.5 0.06 概率 所以，周长的分布律为 0.04 0.4 0.5 0.06 概率 121π 110.25π 100π 90.25π 面积 面积的分布律为 设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。 y = g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数 (1) 求Y的分布函数 FY(y) 根据分布函数的定义 (2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y) 连续型随机变量的函数的分布 一般方法 设随机变量X的密度函数为 求随机变量Y=2X+8的概率密度。 先求Y=2X+8的分布函数 FY (y). 解（1） （2） 求Y=2X+8的概率密度 解 先求分布函数 FY (y)。 设随机变量X服从正态分布 求 的概率密度。 当 时， 所以， 当 时， 所以， 推论 定理 正态分布的线性函数仍服从正态分布 正态分布的标准化 设X ~ N（0，1），其概率密度为： 则 概率密度函数为： 此时称Y服从自由度为1的 分布,记作 结论：若 则 * *