初等数论$2不定方程.pptVIP

第二章 不定方程 §2.1 二元一次不定方程 一、问题的提出〔百钱买百鸡〕 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？” 分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下： 消去z得到方程 这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内， 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是（ ） 分析： 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。 A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④ 设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成， 则有 60m+90n=360. 二元一次不定方程的一般形式为 注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。 二、二元一次不定方程解的形式和判定 定理1 若〔1〕式有整数解 则〔1〕式的一切解可以表示为 （2） 定理1的证明： 证：把〔2〕代入〔1〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。 例2 写出下列方程通解的形式： 说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样， 解决问题的关键在于求一个特解。 问题：所有的二元一次方程都有解吗？ 即为方程〔1〕的解。 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。 对于方程(1),若有解，则可化为 一般地，利用辗转相除法，得到 解：用7、4进行辗转相除法 原方程可以化为 107＝37×3－4，37＝4×9+1， 从而 故〔3〕的一个整数解是 〔2〕的一个整数解是 原方程的整数解为 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算，观察法 即得到原方程的一个整数解 从而所求的一切整数解为 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 变量代换法 解：原方程可化为 则方程可化为 则方程可化为 则方程可化为 逐步往回代入，可得 习题讲解： 则其一切整数解可以表示为 t 的取值区间长度为 从而得证。 （1）方程的一般解可以表示为 在a个单位长度内，y一定有整数解。 对此t，代入原方程，得 代入原方程，有 假设存在非负整数解，则 代入〔*〕，显然不成立。 §2.2 多元一次不定方程 一、多元一次不定方程有解的判定 定理1 方程 〔1〕有解 定理1 方程 假设上述条件对n-1是成立的，下证对n也成立。 令其一整数解为 二、多元一次不定方程求解的方法 例1 求不定方程 x  2y  3z = 7 的所有整数解。 （1）的解为 （2）的解为 把(4)代入(3),消去t,得 注：三元一次不定方程的整数解中含有2个参数. 一般地，我们可以给出多元一次不定方程的求解方法. 二、多元一次不定方程求解的方法 若d不能整除N，则原方程无整数解； 否则，继续下面的步骤。 (2)构造如下的n-1个方程 (3)求出每个方程的所有整数解〔含参数ti〕， 再逐步代入上面的方程中，消去所有的ti， 从而得到原方程的所有整数解。 原方程有整数解。 列出如下的2个方程： (1)的解为 (2)的解为 把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为 (1)的解为 (2)的解为 把t的值代入x,y的表达式，得到原方程的一切整数解为 §2.3 勾股数 人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？科学家们想尽了各种方法，比如通过卫星发射向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐等。而我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射类似下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”.那这个图形的到底有什么秘密呢？ 我是地球人,I am a man on the earth…﹌﹋ ﹠ ★ ◎ ▼ ♀ ♂ 毕达哥拉斯,(公元前572-前492年) ,古希腊著名的数学家、哲学家、天文学家。 毕达哥拉斯 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，从朋友家的地板中发现了这个秘密. SA+SB=SC 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 毕达哥拉斯定理： 　　毕达哥拉斯　　　 　　“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．