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2012压轴题最后冲刺分类强化训练1抛物线与圆(含答案,)
2012压轴题最后冲刺分类强化训练1-抛物线与圆
2、已知二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)两点.[来源:^zzst~ep.%com@]
(1)求这个二次函数的关系式;[中~国^教育出%版网@]
(2)若有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.
(3)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交?
解:(1)由题意,得 解得 -----2分
∴二次函数的关系式是y=x2-1. -----4分
(2)设点P坐标为(x,y),则当⊙P与两坐标轴都相切时,有y=±x.
由y=x,得x2-1=x,即x2-x-1=0,解得x=.
由y=-x,得x2-1=-x,即x2+x-1=0,解得x=.
∴⊙P的半径为r=|x|=. ---7分
(3)设点P坐标为(x,y),∵⊙P的半径为1,
∴当y=0时,x2-1=0,即x=±1,即⊙P与y轴相切,[来源:zz~step.^c%#om]
又当x=0时,y=-1,
∴当y>0时, ⊙P与y相离;
当-1≤y<0时, ⊙P与y相交. ---------10分
2、如图①②,在平面直角坐标系中,边长为2的等边△CDE恰好与坐标系中的△OAB重合,现将△CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点),按顺时针方向旋转180°到△C1DE的位置。
(1)求C1点的坐标;
(2)求经过三点O、A、C1的抛物线的解析式;
(3)如图③,⊙G是以AB为直径的圆,过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F,求切线BF的解析式;
(4)抛物线上是否存在一点M,使得.若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由。
解(1)C1(3,)
(2)∵抛物线过原点O(0,0),设抛物线解析式为y=ax2+bx[来源:*#z@zste~p.c^om]
把A(2,0),C`(3,)带入,得 解得a=,b=-
∴抛物线解析式为y=x2-x
(3)∵∠ABF=90°,∠BAF=60°,∴∠AFB=30°[来源:~zzste^p.c@*#om]
又AB=2 ∴AF=4 ∴OF=2 ∴F(-2,0)
设直线BF的解析式为y=kx+b[中国教育出版网*~@#%]
把B(1,),F(-2,0)带入,得 解得k=,b=
∴直线BF的解析式为y=x+
(4)①当M在x轴上方时,存在M(x,x2-x)
S△AMF:S△OAB=[×4×(x2-x)]:[×2×4]=16:3[中国#@*教育出%~版网]
得x2-2x-8=0,解得x1=4,x2=-2
当x1=4时,y=×42-×4=;[中@~国教育出#版%网]
当x1=-2时,y=×(-2)2-×(-2)=
∴M1(4,),M2(-2,)
②当M在x轴下方时,不存在,设点M(x,x2-x)
S△AMF:S△OAB=[-×4×(x2-x)]:[×2×4]=16:3
得x2-2x+8=0,b2-4ac<0 无实解
综上所述,存在点的坐标为M1(4,),M2(-2,).
3.如图,在直角坐标系xoy中,已知点,过P作交轴于点,以点为圆心为半径作⊙P,交轴于点,抛物线经过A,B,C三点.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)求出该抛物线的解析式;
(3)抛物线上是否存在点,使得四边形的面积是面积
的2倍?若存在,请求出所有满足条件的点;若不存在,请说明理由.
第3题图
解:(1)过作交于,
由题意得:,
∴,
∴
∴,,
(2)设该抛物线解析式为:,则有
解之得
故该抛物线的解析式为
(3)存在
∵,
∴
∴
∴
∴与都是等边三角形
∴
∵,
∴过两点的直线解析式为:
则可设经过点且与平行的直线解析式为:
且有解之得即
解方程组得
也可设经过点且与平行的直线解析式为:
且有解之得即
解方程组得
∴
4.如图,在直角坐标系中,以点为圆心,以为半径的圆与轴相交于点,与轴相交于点.
(1)若抛物线经过两点,求抛物线的解析式,并判断点是否在该抛物线上.
(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点,使得的周长最小.
(3)设为(1)中的抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在这样的点,使得四边形是平行四边形.若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
解:(1),, ,
又在中,,
, 的坐标为
又两点在抛物线上,
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