2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第25讲_反三角函数与三角方程.doc

第25讲反三角函数与三角方程 本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程． 反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数 1．定义：函数y＝sinx(x∈[- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsinx(x∈[－1，1]) 这个式子表示：在区间[- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ]内，正弦函数值为x的角就是arcsinx， 即 sin(arcsinx)＝x， x∈[－1，1] 2．反正弦函数的性质： ⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ]． ⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即 arcsin(－x)＝－arcsinx， x∈[－1，1] ??? y＝arcsinx的图象：与y＝sinx(x∈[- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ])的图象关于y＝x对称．[来源:学科网] ⑸ arcsin(sinx)的值及y＝arcsin(sinx)的图象： arcsin(sinx)＝x， x∈[- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ] 二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到： 1．定义：函数y＝cosx(x∈[0，?])的反函数就是反余弦函数，记为y＝arccosx(x∈[－1，1]) 这个式子表示：在区间[0，?]内，余弦函数值为x的角就是arccosx， 即 cos(arccosx)＝x， x∈[－1，1] 2．反余弦函数的性质： ⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，?]． ⑵ 在定义域上单调减； ⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即 arccos(－x)＝?－arccosx， x∈[－1，1] ⑷ y＝arccosx的图象：与y＝cosx(x∈[0，?])的图象关于y＝x对称． ⑸ arccos(cosx)的值及y＝arccos(cosx)的图象： arccos(cosx)＝x， x∈[0，?] 三．反正切函数 1．定义：函数y＝tanx(x∈(- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctanx(x∈R)． 这个式子表示：在区间(- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) )内，正切函数值为x的角就是arctanx， 即 tan(arctanx)＝x， x∈R 2．反正切函数的性质： ⑴ 定义域为R；值域为(- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) )． ⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是R上的奇函数，即 arctan(－x)＝－arctanx， x∈R ⑷ y＝arctanx的图象：与y＝tanx(x∈(- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ))的图象关于y＝x对称． ⑸ arctan(tanx)的值及y＝arctan(tanx)的图象： arctan(tanx)＝x， x∈(- eq \f(?,2) ， eq \f(?,2) ) 四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出． A类例题 例1证明：⑴ cos(arcsinx)＝ eq \r(1－x2)；sin(arccosx)＝ eq \r(1－x2)； tan(arccotx)＝ eq \f(1,x)．并作它们的图象． ⑵ sin (arc tan x)＝  eq \f(x,\r(1＋x2))； tan(arcsinx)＝  eq \f(x,\r(1－x2))； cos(arctanx)＝  eq \f(1,\r(1＋x2))； tan(arccosx)＝  eq \f(\r(1－x2),x)． 证明：⑴ 设arcsinx＝?，则?∈[－ eq \f(?,2)， eq \f(?,2)]，且sin?＝x，于是，cos?＝