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2012版高三数学一轮精品复习学案73空间向量
2012版高三数学一轮精品复习学案:第七章 立体几何
7.3空间向量
【高考目标导航】
一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示
1、考纲点击
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量;
(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;
(3)能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)
2、热点提示
(1)用直线的方向向量和平面的法向量证明线线、线面的平行关系及垂直关系是本节的重点;
(2)多以解答题的形式出现,综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想。
二、空间直角坐标系
1、考纲点击
(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置;
(2)会推导空间两点间的距离公式。
2、热点提示
(1)通过求点的坐标考查空间想象能力;
(2)通过求两点距离考查计算能力;
(3)渗透在空间向量的坐标法应用中位进行考查;
(4)多以选择、填空的形式考查。
三、空间向量用其运算
1、考纲点击
(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2、热点提示
1、利用向量法证明点共线、线共面、平行、垂直等;
2、数量积的运算及应用是考查热点;
3、多以选择题、填空题的形式考查,有时也出现在解答题中。
四、立体几何中的向量方法
1、考纲点击
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量;
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
2、热点提示
(1)考查向量法判定线面位置关系;
(2)利用向量法求空间角与距离;
(3)在解答题中综合考查空间想象能力,计算能力及数形结合思想。
【考纲知识梳理】
一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示
1、直线的方向向量与直线的参数方程
2、用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行
3、用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角
设直线和所成的角为θ,方向向量分别为,则有⊥,。
4、平面的法向量与平面的向量表示
(1)平面的法向量
已知平面α,如果向量的基线与平面α垂直,则向量叫做平面α的法向量或说向量与平面α正交。
(2)平面的向量表示
设A是空间任一点,为空间内任一非零向量,任取两点,且,,则适合条件的点M都在平面内。①式通常称为一个平面的向量表示式。
(3)平面的平行或垂直
设分别是平面α,β的法向量,
α∥β或α与β重合,
α⊥β。
(4)三垂线定理与逆定理
①三垂线定理
如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直。
②三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
方法提示:
平面的法向量的求法
设出平面的一个法向量,利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标。注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一。
二、空间直角坐标系
1、空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系:以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴,y轴,z轴。这时建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点。X轴,y轴,z轴统称坐标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面;
(2)右手直角坐标系的含义是:当右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴方向时,中指一定指向z轴的正方向;
(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x,y,z),记作M(x,y,z),其中x叫做M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标。
2、空间两点间的距离公式
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=
注:在空间直角坐标系中,点M(x,y,z)的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心,以1为半径的球面。
三、空间向量及其运算
1、空间向量的概念及运算
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循三角形或平行四边形法则;数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同;坐标运算与平面向量的坐标运算类似,仅多出了一个竖坐标。
2、空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量,,∥的充要条件是存在实数λ,使得=λ;
(2)共面向量定理:如果两个向量,不共线,那么向量
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