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2012高考数学精品复习课时作业(二十三)
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课时作业(二十三)
一、选择题
1.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则∠A=( )
A.60° B.45°
C.120° D.30°
答案 C
解析 cosA=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=eq \f(-bc,2bc)=-eq \f(1,2),∴∠A=120°.
2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=eq \f(π,3),a=eq \r(3),b=1,则c等于( )
A.1 B.2
C.eq \r(3)-1 D.eq \r(3)
答案 B
解析 由正弦定理eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB),可得eq \f(\r(3),sin\f(π,3))=eq \f(1,sinB),
∴sinB=eq \f(1,2),故∠B=30°或150°.由ab,
得∠A∠B,∴∠B=30°.
故∠C=90°,由勾股定理得c=2.
3.在△ABC中,若sinA·sinBcosA·cosB,则此三角形的外心位于它的( )
A.内部 B.外部
C.一边上 D.以上都有可能
答案 B
解析 sinAsinBcosAcosB
即cosAcosB-sinAsinB0,∴cos(A+B)0
∴A+B为锐角,∴C为钝角
∴△ABC为钝角三角形,外心位于它的外部.
4.在△ABC中,三内角A、B、C分别对三边a、b、c,tanC=eq \f(4,3),c=8,则△ABC外接圆半径R为( )
A.10 B.8
C.6 D.5
答案 D
解析 本题考查解三角形.由题可知应用正弦定理,
由tanC=eq \f(4,3)?sinC=eq \f(4,5),
则2R=eq \f(c,sinC)=eq \f(8,\f(4,5))=10,故外接圆半径为5.
5.(2011·太原模拟)△ABC中,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为0.5,那么b为( )
A.1+eq \r(3) B.3+eq \r(3)
C.eq \f(3+\r(3),3) D.2+eq \r(3)
答案 C
解析 2b=a+c,eq \f(1,2)ac·eq \f(1,2)=eq \f(1,2)?ac=2,
a2+c2=4b2-4,
b2=a2+c2-2ac·eq \f(\r(3),2)?b2=eq \f(4+2\r(3),3)?b=eq \f(3+\r(3),3).
6.在△ABC中,AB=eq \r(3),AC=1,B=30°,则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),2)或eq \r(3) D.eq \f(\r(3),4)或eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 如图,由正弦定理得
sinC=eq \f(c·sinB,b)=eq \f(\r(3),2),而cb,
∴C=60°或C=120°,
∴A=90°或A=30°,
∴S△ABC=eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4).
7.(2010·天津卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=eq \r(3)bc,sinC=2eq \r(3)sinB,则A=( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案 A
解析 由sinC=2eq \r(3)sinB可得c=2eq \r(3)b,由余弦定理得cosA=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=eq \f(-\r(3)bc+c2,2bc)=eq \f(\r(3),2),于是A=30°,因此选A.
8.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sinC=2sinAcosB,则△ABC是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形,但不是等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形,但不是等腰三角形
答案 A
解析 ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
即a2+b2-c2=ab,
∴cosC=eq \f(a2+b2-c2,2ab)=eq \f(1,2),∴C=60°.
又sinC=2sinAcosB,
由sinC=2sinA·cosB得c=2a·eq \f(a2+c2-b2,2
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