2013届高三数学一轮复习必备精品求数列通项公式的常规解法.doc

求数列通项公式的常规解法 1、由数列前几项写出其通项公式 例1、写出下面各数列的一个通项公式 １，２，３，４，５，的通项公式为， ２，４，６，８，10，的通项公式为， １，３，５，７，９，的通项公式为, １，２，４，８，16, 的通项公式为, 1, 的通项公式为, 1,4,9,16,25, 的通项公式为, １，－１，１，－１，１，－１，的通项公式为， ⑧１，０，１，０，１，０，的通项公式为 ⑨的通项公式为 ⑩的通项公式为或 2、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项. 例1、等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，.求数列的通项公式 解：设数列公差为 ∵成等比数列，∴， 即，得 ∵，∴……① ∵ ∴……② 由①②得：， ∴ 例2、已知满足，而，求. 解　∵是常数， ∴是以为首项，公式为的等比数列 ∴. 3、累加法 对形如（f(n)为等差或等比数列）的数列通项，可用累加法求出. 例1、已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有，求. 解：由已知得， ，……， ，， 以上式子累加，得-==， 例2、已知中，，求. 解　由已知可得 令，代入得个等式累加，即 ∴ ∴ 即. 评注：只要和是可求的，就可以由以代入，可得个等式累加而求，称为累加法. 例3、已知数列，求数列的通项公式. 　　分析：由题目可知与的系数不相等，直接累加不能达到前后相消的目的，故可构造新的数列，使相邻项的系数相等，然后再考虑使用这种方法. 　　解：， 　　∴. 　　令，则. 　　∴ . ∴. 4、累乘法 对形如的数列的通项，可用累乘求出. 例1、已知，求。 解： 。 例2．设数列是首项为1的正项数列，且满足 求通项公式 解：由≠0 ∴在等式两边同除以整理得解得 ∴ 相乘得 点评：形如类型的题，可用累乘法 例3、已知数列中，，前项和与的关系是，求通项公式. 解：由得 两式相减得：， ， 将上面n—1个等式相乘得： 例3：在数列{ a}中，a=2，a=a，求数列{ a}的通项公式。 分析：由题意可得：=， 所以，=，=，=，…，=， 把以上各式叠乘，得=n，又a=2， 所以，a=2 n 5、公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解. 例1．已知下面数列的前项和为，求其通项公式． （１）； （２）． 分析：数列｛｝中，与有关系：．利用这一关系， 在知时可求． 解：（１）∵ ∴≥２时， 又＝１时， ，不满足上式 ∴． （２）∵ ∴≥２时， 又＝１时， ，满足上式 ∴． 说明：解这类题时一定要检验是否适合，只有适合时才能合并为一个表达式，如（２）题；不适合时则应用分段函数表示，如（１）题． 例2：已知数列前项和，求。 解：由题意，易知， 当时， ∴ 例3、已知各项为正数的数列的前n项和为,且满足.求数列的通项公式. 解：由,知, 当时,, 两式相减得 ∴ ∴ ∵各项为正，∴又, ∴. 例4、已知数列的前项和满足.求数列的通项公式； 解：由 当时，有 ……， 经验证也满足上式，所以 6、迭代法 例1、已知. 解：条件理解为，而，， 利用函数的迭代得=3， 即 例2、已知数列{an}满足a1=1，且an+1 =+1，求. 解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=…=3n-1a1+3n-21+3n-31+…+31+1= 7、分类讨论法 例1、已知数列{an}中，a1=1且anan+1=2，求通项公式. 解：由anan+1=2及an+1an+2=2，两式相除，得=，则a1,a3,a5,…a2n-1，…和a2,a4,a6,…a2n，…都是公比为的等比数列，又a1=1,a2=，则：（1）当n为奇数时，；（2）当n为偶数时，.综合得 8、化归法 例1、已知数列满足 求an 解：当 两边同除以， 即成立， ∴首项为5，公差为4的等差数列. 例2　已知数列，求的通项公式. 　分析：递推公式项与项的系数不相等，不是等差数列，需构造转化. 　　解：∵，　　　① 　　令. 　　与①式相比较对应系数相等得m=3. 　　∴. 　　令，则. 　　∴是以2为首项，以2为公比的等比数列. 　　∴. 　　评注：一般的形如，（其中都是常数且，p、q≠0）都可利用这种方法转化成等比数列来解.同学们可以把例1按这种方法转化一番. 　　例3、已知正项数列，求数列｛an｝的通项公式. 　　分析：递推公式中一边是整式，一边是分式，可通过分别取倒数，统一成分式. 　　解：∵， 　　∴，令， 　　则， 　　∴，故可得. 评注：一般的形如.其中为常数，且r≠p，p、r≠0，都可运用此种方法；若，则取倒数可转化成等差数列. 例8．设｛｝是首项为１的正项数列，且，求数列的通项公式． 解：∵｛｝是首项为１的正项数列